Question

Seja α1 = {v1, v2, . . . , vn} e α2= {w1, w2, . . . , wn}. Mostre que se os vetores de α são combinações lineares dos vetores de α 0 então ger{α1} = ger{α2}

Answer 1

Vamos analisar os espaços lineares geradores por cada um dos grupos de vetores.

Então temos os dois grupos de vetores:

$A_1=\{v_1,v_2,...,v_n\}$

$A_2=\{w_1,w_2,...,w_n\}$

Se os vetores de A2 são combinação dos vetores de A1, então podemos escrever um vetor de A2 qualquer como:

$w_i=\alpha_{i,1}.v_1+\alpha_{i,2}.v_2+...+\alpha_{i,n}.v_n$

Onde αin's são coeficientes fixos da combinação linear.

Substituindo esta forma de se escrever os vetores Wi em um combinação linear de A2, e colocando em evidência os vetores Vn, teremos A2 escrito da forma:

$L[A_2]=L[\{w_1,w_2,...,w_n\}]=\beta_1.w_1+\beta_2.w_2+...+\beta_n.w_n$

$L[A_2]=(\beta_1(\alpha_{1,1}+\alpha_{2,1}+...+\alpha_{n,1}).v_1+\beta_2(\alpha_{1,2}+\alpha_{2,2}+...+\alpha_{n,2}).v_2+...+\beta_n(\alpha_{1,n}+\alpha_{2,n}+...+\alpha_{n,n}).v_n)$

Agora note que na combinação linear de A2, tudo que multiplica os vetores Vn são somas de constante, que também são constante, então podemos chamar tudo isso de uma constante só, que neste caso irei chamar de γn:

$L[A_2]=\gamma_1.v_1+\gamma_2.v_2+...+\gamma_n.v_n$

Mas note que isto é exatamente a combinação linear dos vetores de A1:

$L[A_1]=\gamma_1.v_1+\gamma_2.v_2+...+\gamma_n.v_n$

Então como o espaço gerado por A1 é a combinação linear deste e os de A2 são a mesma combinação, então ambos geram o mesmo espaço.