Question

Seja
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. Encontre uma matriz B de tamanho 2 × 3 com entradas
n˜ao nulas e tal que AB = 0 (matriz nula).

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Dada uma matriz A, quadrada de ordem 2, encontrar uma matriz B, de ordem 2 x 3, tal que AB = 0.

Vamos, a priori, definir uma matriz genérica B de ordem 2 x 3, veja:

$\mathsf{B}=\begin{vmatrix}\mathsf{a} &\mathsf{ b} &\mathsf{c} \\ \mathsf{d}&\mathsf{e} &\mathsf{f} \end{vmatrix}}}$

Temos que AB = 0, vamos então fazer o que a questão manda:

$\mathsf{AB=\overrightarrow{0}}\\ \\ \\ \\ \mathsf{\begin{vmatrix} 1&2 \\ 3& 6\end{vmatrix}}\cdot~\mathsf{\begin{vmatrix} \mathsf{a}&\mathsf{b} &\mathsf{c} \\ \mathsf{d}&\mathsf{e} & \mathsf{f}\end{vmatrix}}=\mathsf{\begin{vmatrix} \mathsf{0}&\mathsf{0} &\mathsf{0} \\ \mathsf{0}&\mathsf{0} & \mathsf{0}\end{vmatrix}}$

Agora desenvolvemos o produto entre as matrizes, fazendo as linhas da matriz A vezes as colunas da matriz B, veja:

$\mathsf{\begin{vmatrix}\mathsf{a+2d} &\mathsf{b+2e} &\mathsf{c+2f} \\ \mathsf{3a+6d}&\mathsf{3b+6e} &\mathsf{3c+6f} \end{vmatrix}}=\mathsf{\begin{vmatrix} \mathsf{0}&\mathsf{0} &\mathsf{0} \\ \mathsf{0}&\mathsf{0} & \mathsf{0}\end{vmatrix}}$

A partir da igualdade de matrizes acima podemos encontrar um sistema linear para achar as incógnitas a, b, c, d, e e f. Vejamos:

$\left\{\begin{matrix}\mathsf{ a+2d=0}\\ \mathsf{3a+6d=0}\\ \mathsf{b+2e=0}\\ \mathsf{3b+6e=0}\\ \mathsf{c+2f=0}\\ \mathsf{3c+6f=0}\end{matrix}\right.$

A resolução do sistema acima fica como exercício para o leitor. Ao resolvê-lo, você encontrara como solução:

c = -2f                          e = e

a = -2d                            f = f

d = d                            b = -2e

Substituindo as soluções acima na matriz genérica B, teremos a matriz tal que AB = 0

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{B}=\mathsf{\begin{vmatrix}\mathsf{-2d} &\mathsf{-2e} &\mathsf{-2f} \\ \mathsf{d}&\mathsf{e} &\mathsf{f} \end{vmatrix}}_~{\mathsf{2x3}}}}}~~\checkmark$

Espero que te ajude!

Bons estudos!