Question

Seja [0,2pi] tal que sen(x)cos(x)=2/5 . Então, o produto e a soma de todos os possíveis valores de tan(x) são, respectivamente: Escolha uma: a. - 1 e 0 b. 1 e 5 c. 1 e 5/2 d. -1 e -5/2 e. 1 e 0

Answer 1

Resposta:

c. 1 e 5/2

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

sen(x). cos(x)= 2/5

sen(x). raiz(1 - sen^2(x))= 2/5

raiz(1 - sen^2(x))= 2/5. 1/sen(x)

1 - sen^2(x) = (2/5)^2. (1/sen(x))^2

1 - sen^2(x) = 4/25. 1/(sen^2(x))

sen^2(x) - sen^4(x) = 4/25

Fazendo w=sen^2(x), temos:

w - w^2 - 4/25 = 0 (x -1)

w^2 -w +4/25 = 0

w= (1 +/- raiz((-1)^2 - 4.1.4/25))/(2.1)

w= (1 +/- raiz(1 - 16/25))/2

w= (1 +/- raiz((25 - 16)/25))/2

w= (1 +/- raiz(9/25))/2

w= (1 +/- 3/5)/2

w= (5 +/- 3)/10

w'= (5 + 3)/10 = 4/5

w"= (5 - 3)/10 = 1/5

Como sen(x) = raiz(w), temos:

sen(x')= raiz(4/5)= +/- 2.raiz(5)/5

sen(x")= raiz(1/5)= +/- raiz(5)/5

Logo temos para cos(x) que:

cos(x) = raiz(1 - sen^2(x))

cos(x') = raiz(1 - (+/- 2.raiz(5)/5)^2)

cos(x') = raiz(1 - 4.5/25)

cos(x') = raiz((25 - 20)/25)

cos(x') = +/- raiz(5)/5

cos(x") = raiz(1 - (+/- raiz(5)/5)^2)

cos(x") = raiz(1 - 5/25)

cos(x") = raiz((25 - 5)/25)

cos(x") = +/- 2.raiz(5)/5

Logo, podemos ver que:

sen(x)= +/- 2.raiz(5)/5

cos(x)= +/- raiz(5)/5

ou

sen(x)= +/- raiz(5)/5

cos(x) = +/- 2.raiz(5)/5

De forma que:

tg(x) = sen(x)/cos(x)

tg(x) = +/- 2.raiz(5)/5 / +/- raiz(5)/5

tg(x) = 2

ou

tg(x) = +/- raiz(5)/5 / +/- 2.raiz(5)/5

tg(x) = 1/2

Portanto:

2. 1/2 = 1

2 + 1/2 = (4 + 1)/2 = 5/2

Blz?

Abs :)