Question

Seis trufas com diferentes recheios (bombons recheados) serão distribuídas entre duas meninas. Supondo que cada uma delas receba pelo menos uma trufa, de quantos modos diferentes essa distribuição poderá ser realizada?

Answer 1

NOTA IMPORTANTE:

Os bombons tem recheios diferentes ...logo todos eles são diferentes

Vamos resolver este exercício de 2 formas diferentes:

1ª Forma:

Calculando todas as possibilidades de distribuição de 6 bombons diferentes por 2 crianças ....e subtraindo as 2 possibilidade que não interessam (aquelas em que uma das crianças não receberia nenhum bombom)

Veja que para cada bombom (que são diferentes) existem 2 possibilidades de distribuição (2 crianças) ...como há 6 bombons termos um total (T) dado por:

T = 2ⁿ

..como temos de retirar as 2 possibilidades que não interessam e considerando (N) como o número de maneiras pretendido teríamos:

N = T - 2

N = 2ⁿ - 2

N = 2⁶ - 2

N = 64 - 2

N = 62 <= número de maneiras de distribuir 6 bombons diferentes por 2 crianças de modo a que cada uma delas receba, pelo menos, um bombom

2º Forma: Por Cálculo Combinatório

Vamos recorrer a uma equação linear para cálculo do número de soluções possíveis, (considerando x ≥ 1) assim:

Y = (p - 1)/(n - 1)

..sendo

p = 6 ...e n = 2

donde resulta

Y = (6 - 1)/(2 - 1)

Y = 5/1

Y = 5 <= temos 5 soluções possíveis

Vamos ver agora quais são através da definição do "espaço amostral" das possibilidades:

..considerando os pares ordenados (A,B) como as crianças "A" e "B"

(5,1) .. e .. (1,5)

(4,2) .. e .. (2,4)

(3,3)

..recorrendo á formula da Combinação Simples temos para o 1º par ordenado (5,1) o número de possibilidades dado por

Note que a criança "A" tem 6 possibilidades para escolher 5 bombons ..donde resulta C(6,5) ..e a criança "B" ficará SEMPRE com o bombom restante

C(6,5) = 6!/5!(6-5)! = 6.5!/5! = 6 possibilidades

como as 2 crianças podem "permutar entre si" teremos na realidade para os 2 pares ordenados:

(5,1) e (1,5) = 2 . 6 = 12 possibilidades

temos para o 2º par ordenado (4,2) o número de possibilidades dado por:

Note que a criança "A" tem 6 possibilidades para escolher 4 bombons ..donde resulta C(6,4) ..e a criança "B" ficará SEMPRE com os bombons restantes

C(6,4) = 6!/4!(6-4)! = 6.5.4!/4!2!! = 30/2 = 15 possibilidades

como as 2 crianças podem "permutar entre si" teremos na realidade para os 2 pares ordenados:

(4,2) e (2,4) = 2 . 15 = 30 possibilidades

Resta-nos o último par ordenado (3,3)

Note que a criança "A" tem 6 possibilidades para escolher 3 bombons ..donde resulta C(6,3) ..e a criança "B" ficará SEMPRE com os 3 bombons restantes

C(6,3) = 6!/3!(6-3)! = 6.5.4.3!/3!3!! = 6.5.4/6 = 5.4 = 20 possibilidades

..mas agora atenção que neste caso quando calculamos o total de possibilidades para a criança "A" ....estamos a calcular (implicitamente) o total de possibilidades da criança "B"

..assim as 20 possibilidades representam TODAS as possibilidades de "A" e de "B"

Concluindo, o número (N) de possibilidades será dado por:

N = 2.C(6,5) + 2.C(6,4) + C(6,3)

N = 12 + 30 + 20

N = 62 <= número de maneiras de distribuir 6 bombons diferentes por 2 crianças de modo a que cada uma delas receba, pelo menos, um bombom

Espero ter ajudado