Question

Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices de um hexágono regular de aresta 2R. Sobre estas esferas é colocada uma sétima esfera de raio 2R que tangencia todas as demais. Determine a distância do centro da sétima esfera à superfície horizontal.

Answer 1

O centro da esfera maior será vértice de uma piramide de 6 lados (hexagonal)
com aresta 2r e a aresta lateral 3r.

Por Pitágoras:

h = hipotenusa
AO =  Cateto da base => 2r
VO =  Cateto adjacente => 3r

$(VO)^2 + (AO) = h^2 \\ \\ h^2 + (2r)^2 = (3r)^2 \\ \\ h^2 = (3r^2) - (2r)^2 \\ \\ h^2 = 9r^2 - 4r^2 \\ \\ h^2 = 5r^2 \\ \\ h = \sqrt{5r^2} \\ \\ h = \sqrt{5}* r \ \ <=> r\sqrt{5}$


$\fbox{ \ h = r\sqrt{5} \ \ }$

==============

Temos que encontrar a distância:

$D = h + r \\ \\ \\ D = r \sqrt{5} + r \\ \\ D = r (\sqrt{5} + 1)$


A distância do centro sétima esfera à superfície:

$\fbox{ \ r (\sqrt{5} + 1)\ \ }$