Seis bolas idênticas foram numeradas de 1 a 6 e colocadas em uma caixa. Joaquim retira, uma a uma, quatro bolas da caixa e observa seus números, sem recolocá-las na caixa.
A) Qual é a probabilidade de que o maior número observado seja 5?
Soluções para a tarefa
Olá! Espero ajudar!
Nós temos seis bolas numeradas, quatro bolas são retiradas sem reposição, e o problema pergunta qual a probabilidade de a maior bola tirada ser a de número cinco.
Calculando por bola tirada -
Se a primeira for 5 -
P₁ = 1/6 · 4/5 · 3/4 · 2/3 = 24/360
P₁ = 1/15
Se a segunda for 5 -
P₂ = 4/6 · 1/5 · 3/4 · 2/3 = 24/360
P₂ = 1/15
Se a terceira for 5 -
P₃ = 4/6 · 3/5 · 1/4 · 2/3 = 24/360
P₃ = 1/15
Se a quarta for 5 -
P₄ = 4/6 · 3/5 · 2/4 · 1/3 = 24/360
P₄ = 1/15
P = P₁ + P₂ + P₃ + P₄
P = 1/15 + 1/15 + 1/15 + 1/15
P = 4/15
Resposta:
4/15 <= Probabilidade pedida
Explicação passo-a-passo:
.
NOTAS IMPORTANTES:
=> Estamos perante uma situação de seleção (extração - retiradas) SEM REPOSIÇÃO!.
...isto implica que retirar as bolas UMA a UMA ..ou retirar TODAS simultaneamente ....NÃO TEM QUALQUER INFLUÊNCIA NO CÁLCULO
=> Temos 6 bolas numeradas de 1 a 6
=> Temos 4 extrações de 1 bola ..ou 1 extração de 4 bolas (é indiferente)
=> Pretendemos calcular a probabilidade (P) de que o MAIOR número extraído seja o "5"
PRINCIPIO LÓGICO ASSOCIADO AO RACIOCÍNIO
=> Para que o MAIOR número seja o "5" são necessárias 2 condições:
1ª Condição: é necessário que ele esteja entre os números extraídos
2ª Condição: é necessário que o número 6 não seja extraído
Podemos resolver a probabilidade pedida nesta questão de 2 formas:
1ª Aplicando o conceito do PFC (Principio Fundamental da Contagem) a cada tipo de extração (UMA a UMA ..ou as 4 em SIMULTÂNEO)
2ª Aplicando o conceito de Cálculo Combinatório (Combinação Simples)
RESOLUÇÃO:
PFC (extração UMA a UMA)
Sabemos pelo principio lógico referido a cima que o "5" tem de sair (em qualquer ordem) ..e o "6" NÃO PODE SAIR.
Assim e considerando a saída do "5" na primeira bola teremos as possibilidades dadas por
1ª bola = 5 = 1/6 ..só há um "5" em 6 bolas possíveis
..mas agora (UMA NOTA IMPORTANTE) para as restantes bolas temos de retirar a possibilidade de sair o "5" (que já saiu na bola anterior) ...mas também não podemos contar com o "6" pois ele NÃO PODE SAIR.
donde resulta para a 2ª extração as possibilidades dadas por 4/5
seguindo este principio para as retantes extrações (3ª e 4ª) teremos respectivamente: (3/4) e (2/3)
Integrando tudo e considerando o "5" na 1ª bola o total de possibilidades será dado por:
1ª bola "5" = (1/6) . (4/5) . (3/4) . (2/3) = 24/360 = 1/15
vamos seguir o mesmo raciocínio (o "6" NÃO PODE SAIR) e calcular as possibilidades para a saída do "5" em outras ordens
2ª bola "5" = (4/6) . (1/5) . (3/4) . (2/3) = 24/360 = 1/15
3ª bola "5" = (4/6) . (3/5) . (1/4) . (2/3) = 24/360 = 1/15
4ª bola "5" = (4/6) . (3/5) . (2/4) . (1/3) = 24/360 = 1/15
A probabilidade (P) será:
P = (1/15 + (1/15) + (1/15) + (1/15)
P = 4/15 <= probabilidade pedida
PFC (extração SIMULTÂNEA)
Temos 4 possibilidades de saída do "5" (1ª, 2ª, 3ª ..ou 4ª bola) ..donde resulta 4/6
..e não podemos esquecer de retirar a possibilidade de saída do "6" nas restantes
assim a probabilidade (P) será dada por:
P = (4/6) . (4/5) . (3/4) . (2/3) = 4/15 <= probabilidade pedida
Resolução por Cálculo Combinatório
(Resolução mais avançada e recomendada para questões ITA ou OBMEP)
Já vimos acima que num sorteio (SEM REPOSIÇÃO) é o mesmo que um sorteio simultâneo.
Assim e para não tornar este desenvolvimento muito maçador vamos considerar a saída simultânea das 4 bolas
O total de eventos possíveis (4 em 6 bolas) será dado por C(6,4)
...mas, nos eventos favoráveis temos de excluir a possibilidade do "6" ..donde resultam os eventos favoráveis dados por C(4,3)
Como P = (eventos favoráveis)/(eventos possíveis)
então
P = C(4,3)/C(6,4)
P = [4!/3!(4-3)!] / [(6!/4!(6-4)!]
P = [4!/3!1!] / [(6!/4!2!)]
P = [4.3!/3!1!] / [(6.5.4!/4!2!)]
P = [4/1] / [(6.5/2!)]
P = (4/1) / (30/2)
P = 4/15 <= Probabilidade pedida
Espero ter ajudado