Question

Seguindo os critérios das regras do produto ou do quociente derive:

a) y=(2x³+3) (x^4-2x)

b) x²+x-2/x³+6

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luuhlu, que a resolução é simples. Porém, a exemplo da sua outra questão sobre este mesmo assunto, é um pouco trabalhosa.

i) Pede-se para derivar, pela regra de cadeia, as seguintes expressões;

a) f(x) = (2x³ + 3)*(x⁴ - 2x)

Note que se temos f(x) = u*v ---> f'(x) = u'.v + u.v'
No caso da sua questão temos que u = (2x³+3) e v = (x⁴-2x).
Assim, seguindo a regra: f'(x) = u'.v + u.v', teremos:

f'(x) = 6x²*(x⁴-2x) + (2x³+3)*(4x³-2) ---- efetuando os produtos indicados:
f'(x) = 6x⁶-12x³ + 8x⁶-4x³+12x³-6 --- reduzindo os termos semelhantes:
f'(x) = 14x⁶ - 4x³ - 6 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) f(x) = (x²+x-2)/(x³+6)

Veja: pela regra de cadeia, se temos f(x) = u/v, teremos:

f'(x) = (u'.v - u.v')/v²

Note que, na sua questão temos que: u = (x²+x-2); e v = (x³+6).
Assim, segundo a regra f'(x) = (u'.v - u.v')/v², ficaremos com:

f'(x) = [(2x+1)*(x³+6) - (x²+x-2)*(3x²)]/(x³+6)² ---- desenvolvendo, temos:
f'(x) = [(2x⁴+12x+x³+6) - (3x⁴+3x³-6x²)]/(x³+6)² --- retirando-se os parênteses do numerador, ficaremos com:

f'(x) = [2x⁴+12x+x³+6 - 3x⁴-3x³+6x²]/(x³+6)² --- reduzindo os termos semelhantes no numerador, teremos:

f'(x) = (-x⁴ - 2x³ + 6x² + 12x + 6)/(x³+6)² <--- Esta é a resposta para o item "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.