Question

segue questão em anexo.

Answer 1

O que o exercício está dizendo é que a transformada inversa de Laplace de uma soma é a soma das transformadas individuais. E você também tirar as constantes multiplicando a transformada. Ficaria assim:

$5 \cdot \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s - 7}\} + 2 \cdot \mathcal{L}^{-1}\{\frac{s}{s^2 + 81}\} - \mathcal{L}^{-1}\{\frac{3}{s^2 + 36}\}$

Agora, basta calcular as transformadas inversas:

$5 \cdot e^{7 \cdot t} + 2 \cdot cos(9\cdot t) - \frac{1}{2} \cdot sen (6 \cdot t)$

Eu usei as seguintes transformadas:

$\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s + \alpha}\} = e^{-\alpha \cdot t}$
$\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\} = sen(\omega \cdot t)$
$\mathcal{L}^{-1}\{\frac{s}{s^2 + \omega^2}\} = cos(\omega \cdot t)$

Se você perceber, na do seno, o numerador é $\omega$, que vale 6, mas nós só temos 3 no numerador, então multiplico em cima e em baixo por 2. O numerador vira 6 e você completa o seno, em compensação vai ter um 1/2 multiplicando.