Segue imagem da questão.
Qual das alternativas está correta?
a. I e IV
b. II e III
c. III e IV
d. I, II e IV
e. II, III e IV
Soluções para a tarefa
As afirmações corretas são I, II e IV, portanto alternativa D
Antes de seguir darei a regra para provar que um limite não existe.
I.
Para provar que um limite não existe, temos que achar uma parametrização dele que dê um resultado diferente, então dado o limite:
Vamos utilizar a parametrização , logo:
Agora vamos utilizar outra parametrização :
Agora nesse segundo limite, note que temos o limite trigonométrico fundamental:
Portanto:
Logo o limite não existe.
II.
Dada a função:
A função no numerador não há nenhuma restrição, mas para a função no denominador temos que garantir que seja diferente de 0, logo:
Portanto, de fato o domínio da função é:
III.
Se temos as funções:
Então a função composta é dado por:
Logo vemos que essa afirmação não é verdadeira, provalmente esse limite não existe, mas de qualquer forma, quando (x, y) → (1, 0), x² + xy - 1 se aproxima de 0, e lim x → 0 ln(x) = -∞ que está muito longe de 1.
IV.
Dada a função:
A função é composta pela soma de 4 funções contínuas, logo também é contínua, e não nenhuma restrição em seu domínio, então de fato ele é
Espero ter ajudado
Qualquer dúvida respondo nos comentários.