Question

Segue em anexo a pergunta

Answer 1

Escrevendo a expressão em termos de cossenos apenas.

Por identidades conhecidas:

cos (2x) = 2cos^2 (x) - 1

e sin^2 (x) = 1 - cos^2 (x)

Então:

2cos^2 (x) - 1 + 1 - cos^2 (x) + cos (x) = 0

cos^2 (x) + cos (x) = 0. Atribuindo cos (x) = y.

y^2 + y = 0. Que tem solução: y = 0 e y = -1.

Assim:

0 = cos (x) . x = π/2 ou 3π/2

-1 = cos (x) . x = π.

Portanto, têm 3 soluções no intervalo [0, 2π]

S: {π/2, 3π/2, π}

Answer 2

Temos a seguinte equação trigonométrica:

$\sf cos(2x) + sen {}^{2} (x) + cos(x) = 0$

Primeiro vamos expandir a expressão cos(2x), para isso vamos lembrar da fórmula da adição de arcos, dada por:

$\sf cos(x + x) = cos(x).cos(x) - sen(x).sen(x) \\ \sf cos(2x) = cos {}^{2} x - sen {}^{2} x$

Mas sabemos que sen²x pode ser reescrito da seguinte forma: sen²x + cos²x = 1 → sen²x = 1 - cos²x, substituindo essa informação:

$\sf cos(2x) = cos {}^{2} x - (1 - cos {}^{2} x) \\ \sf cos(2x) = cos {}^{2} x - 1 + cos {}^{2} x \: \: \: \: \\ \sf cos(2x) = 2cos {}^{2} x - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Temos essa expansão e a de sen²x, então vamos substituir e deixar tudo em função do cosseno:

$\sf 2cos {}^{2}( x )- 1 + (1 - cos {}^{2} (x)) + cos(x) = 0 \\ \sf 2cos {}^{2} (x) - 1 + 1 - cos {}^{2} (x) + cos(x) = 0 \: \: \: \: \\ \sf 2cos {}^{2} (x) - cos {}^{2} (x) + cos(x) = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf cos {}^{2} (x) + cos(x) = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Vamos resolver essa expressão bem mais resumida, para resolver vamos dizer que cos(x) = y, pois isso facilitará a resolução:

$\sf cos(x).cos(x) + cos(x) = 0 \\ \boxed{ \boxed{\sf cos(x) = y}} \\ \sf y.y + y = 0 \\ \sf y {}^{2} + y = 0 \\ \sf y.(y + 1) = 0 \\ \begin{cases} \sf y_1 = 0 \\ \sf y_2 = - 1\end{cases}$

Substituindo esses valores na expressão que criarmos (cos(x) = y).

$\sf cos(x) = y_1\longrightarrow cos(x) = 0 \: \: \: \\ \boxed{ \sf S = \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}} \\ \\ \sf cos(x) = y_2\longrightarrow cos(x) = - 1 \\ \boxed{ \sf S = \pi}$

Espero ter ajudado

• Resposta: exatamente três soluções.