Question

Secciona-se uma pirâmide regular de altura h por um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice. Pede-se x de modo que a áreas laterais da pirâmide se altura x e do tronco de pirâmide de altura h – x sejam iguais.

Answer 1

Considerando que seja um cone:
R, r =os raios das bases
G, g = geratrizes das pirâmides de altura h e x

r/x = R/h
r = xR/h 

G = $\sqrt$(R² + h²) 

g² = = x² + r²
g² = x² + x²R²/h²
g = (x/h)*$\sqrt$(R² + h²) 

Área lateral da pirâmide de altura x
 s = pi*r*g
s = pi*(xR/h)*$\sqrt$(R² + h²) 

Área lateral da pirâmide de altura h
S = pi*R*G
S = pi*R*$\sqrt$(R² + h²) 

Areá da piramide menor ser igual à área do tronco
S = 2s
pi*R*$\sqrt$(R² + h²) = 2*pi*(xR/h)*$\sqrt$(R² + h²)
x² = h²/2
x = h*$\sqrt$2/2