Question

Se x₁ e x₂ são os zeros de x² – 2x + 6 = 0, então x₁¹⁰ + x₂¹⁰ vale

a) 7551

b) 7552

c) 7553

d) 7554

e) 7555​

Answer 1

Resposta: letra b)

Se x₁ e x₂ são as raízes de x²– 2x + 6 = 0, então, das Relações de Girard, temos que x₁ + x₂ = 2 e x₁x₂ = 6. Fazendo x = x₁² e y = x₂² na identidade algébrica x⁵ + y⁵ = (x + y)(x⁴y⁰ – x³y¹ + x²y² – x¹y³ + x⁰y⁴) — válida ∀x ∈ ℂ e ∀y ∈ ℂ — e usando x₁ + x₂ = 2 e x₁x₂ = 6, segue que x₁¹⁰ + x₂¹⁰ vale:

(x₁²)⁵ + (x₂²)⁵ = (x₁²+ x₂²)[(x₁²)⁴(x₂²)⁰ – (x₁²)³(x₂²)¹ + (x₁²)²(x₂²)² – (x₁²)¹(x₂²)³ + (x₁²)⁰(x₂²)⁴]

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = (x₁² + x₂²)(x₁⁸x₂⁰ – x₁⁶x₂² + x₁⁴x₂⁴ – x₁²x₂⁶ + x₁⁰x₂⁸)

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = (x₁² + 2x₁x₂ + x₂² – 2x₁x₂)(x₁⁸ – x₁⁶x₂² + x₁⁴x₂⁴ – x₁²x₂⁶ + x₂⁸)

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂][x₁⁸ + 2x₁⁴x₂⁴ + x₂⁸ – x₁⁴x₂⁴ – x₁⁶x₂² – x₁²x₂⁶)]

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂][(x₁⁴ + x₂⁴)² – (x₁x₂)⁴ – x₁²x₂²(x₁⁴ + x₂⁴)]

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂][(x₁⁴ + 2x₁²x₂² + x₂⁴ – 2x₁²x₂²)² – (x₁x₂)⁴ – (x₁x₂)²(x₁⁴ + 2x₁²x₂² + x₂⁴ – 2x₁²x₂²)]

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂]{[(x₁² + x₂²)² – 2(x₁x₂)²]² – (x₁x₂)⁴ – (x₁x₂)²[(x₁² + x₂²)² – 2(x₁x₂)²]}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂]{[[(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂]² – 2(x₁x₂)²]² – (x₁x₂)⁴ –(x₁x₂)²[[(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂]² – 2(x₁x₂)²]}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [2² – 2 . 6]{[[2² – 2 . 6]² – 2 . 6²]² – 6⁴ – 6²[[2² – 2 . 6]² – 2 . 6²]}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [4 – 12]{[[4 – 12]² – 2 . 36]² – 1296 – 36[[4 – 12]² – 2 . 36]}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [– 8]{[[– 8]² – 72]² – 1296 – 36[[– 8]² – 72]}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [– 8]{[64 – 72]² – 1296 – 36[64 – 72]}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [– 8]{[– 8]² – 1296 – 36[– 8]}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [– 8]{64 – 1296 + 288}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [– 8]{– 1232 + 288}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = [– 8]{– 944}

x₁¹⁰ + x₂¹⁰ = 7552

Obs.: a identidade algébrica x² + y² = (x + y)² – 2xy também é verdadeira ∀x ∈ ℂ e ∀y ∈ ℂ