Question

Se x+y =2 e x2 + y2 = 3 entao x3+y3 vale??

Como faço essa questão ?

Answer 1

Uma forma de resolver essa questão é justamente fazendo o que está indicado no anexo.

    $\mathsf{x+y=2\qquad (i)}$

Antes de elevar ao cubo, eleve os dois lados de (i) ao quadrado:

    $\mathsf{(x+y)^2=2^2}\\\\ \mathsf{x^2+2xy+y^2=4}\\\\ \mathsf{(x^2+y^2)+2xy=4}\\\\ \mathsf{2xy=4-(x^2+y^2)}$

Substitua o valor conhecido para x² + y²:

    $\mathsf{2xy=4-3}\\\\ \mathsf{2xy=1}\\\\ \mathsf{xy=\dfrac{1}{2}\qquad(ii)}$

Agora, eleve os dois lados de (i) ao cubo:

    $\mathsf{(x+y)^3=2^3}\\\\ \mathsf{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=8}\\\\ \mathsf{(x^3+y^3)+3x^2y+3xy^2=8}$

Agora, coloque 3xy em evidência nas últimas duas parcelas do lado esquerdo:

    $\mathsf{(x^3+y^3)+3xy\cdot (x+y)=8}\\\\ \mathsf{x^3+y^3=8-3xy\cdot (x+y)}$

Substitua os valores conhecidos de xy e x + y:

    $\mathsf{x^3+y^3=8-3\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \diagup\!\!\!\! 2}\\\\\\ \mathsf{x^3+y^3=8-3}$

    $\mathsf{x^3+y^3=5\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)