Question

Se X + Y = 2 e X² + Y² = 3, então X³ + Y³ vale?

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Olhei algumas resoluções, mas não consegui compreender o que foi feito. Se possível, mostre passo a passo! Obrigada

Answer 1

Boa tarde,

bom,ao pensar sobre essa questão confesso que fiquei preso no polinômio (x+y)³,que de fato resulta em:

(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³

Daí,substituí x+y por 2 (que é dado no problema) e a fórmula resultava em :

2³=x³+3x²y+3xy²+y³
8=x³+3x²y+3xy²+y³

arrumando os termos,ficaríamos com:

8=x³+y³+3x²y+3xy²

Como você deve ter estudado,vemos que em 3x²y+3xy² há três termos que se repetem : o ''3'' o ''x'' e ''y''.Multiplicando eles,ficaríamos com 3xy.Após isso,vc divide cada um desses números por 3xy,ficando:

3x²y/3xy ---> matando ''3'' e ''y'' resulta em x²/x=x

3xy²/3xy ----> matando 3 e y ficaríamos com y²/y=y

Daí,bastava juntar tudo:

3xy.(x+y) é a expressão que resulta

Portanto,ficamos com a expressão:

8=x³+y³+3xy.(x+y)

Como o problema nos informa que x+y=2,temos:

8=x³+y³+3xy.2
8=x³+y³+6xy
Daí,isolando x³+y³
8-6xy=x³+y³

PORÉM,para resultar em um número real,é preciso descobrir o valor de xy

Como vc mesmo escreveu,

X² + Y² = 3

Essa expressão vem de um produto notável,que é (x+y)².Desenvolvendo,temos:

(x+y)²=x²+2xy+y²
(x+y)²=x²+y²+2xy

como x+y=2 e x²+y²=3,ficamos :

2²=3+2xy
4=3+2xy
4-3=2xy
1=2xy
1/2=xy
Voltando à nossa antiga expressão,tinhamos que:

8-6xy=x³+y³

porém,calculamos que xy=1/2.Substituindo,temos:

8-6.(1/2)=x³+y³
8-3=x³+y³
5=x³+y³ <<<<<<

Espero que tenha compreendido minha resolução! Mas,caso tenha alguma dúvida,revise a matéria de produtos notáveis,é essencial para você não se perder rsrs

Um abraço.