Question

Se x+y=2 e x^2+y^2=3, qual o valor de xy?

Answer 1

Resposta:  $xy=\frac{1}{2}$

Resolução:

Comecemos por relembrar as Prioridades das Regras Operatórias:            

1º - Parênteses            

2º - Potências e Raizes          

3º - Multiplicações e Divisões            

4º - Adições e Subtrações

Lembremos também os Casos Notáveis da Multiplicação:

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Deixo ainda em anexo uma Tabela de Sinais da Multiplicação.

Com isto em mente, vamos resolver este sistema:

    $\begin{cases}x+y=2\\\\x^2+y^2=3\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=2-y\\\\(2-y)^2+y^2=3\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=2-y\\\\2^2-2\times2\times y+y^2+y^2=3\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=2-y\\\\4-4y+2y^2=3\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=2-y\\\\2y^2-4y+1=0\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=2-y\\\\y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}x=2-y\\\\y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=2-\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}x=2-\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{2\times2}{2}-\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}x=\dfrac{2\times2}{2}-\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{4}{2}-\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}x=\dfrac{4}{2}-\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{4-2+\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}x=\dfrac{4-2-\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}x=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\\\y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\end{cases}$

Logo, temos que:

    $xy=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow xy=\dfrac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}{2\times2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow xy=\dfrac{2^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow xy=\dfrac{4-2}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow xy=\dfrac{2}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow xy=\dfrac{1}{2}$

    Cálculos Auxiliares    

    $2y^2-4y+1=0$

    $y=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times2\times1}}{2\times2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{4\pm\sqrt{16-8}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{4\pm\sqrt{2^3}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{4\pm2\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{4-2\sqrt{2}}{4}\;\;\;\vee\;\;\;y=\dfrac{4+2\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\;\;\;\vee\;\;\;y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$

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