Question

Se x', x" e x"' são as raízes da equação 3x³ + 2x² - 7x + 2 = 0 podemos afirmar que a soma dos inversos dessas raízes é igual a: a)2,5 b)3,5 c)1,5 d)4,5 e)5,5

Answer 1

Resposta:

B

Explicação passo-a-passo:

Solução:

1. Observe que a soma dos coeficientes da equação é igual a 0:

$\sf{3+2-7+2=5-5=0}$

Quando isso ocorre podemos afirmar que x' = 1 é raiz da equação. Vou mostrar isso substituindo esse valor na equação, veja:

$\sf{3x^3+2x^2-7x+2}\rightarrow\\\\\sf{3\cdot1^3+2\cdot1^2-7\cdot1+2\rightarrow$

$\sf{3+2-7+2} \rightarrow\\\\\sf{5-5=0}$

2. Como x' = 1 é raiz, a equação pode ser dividida por x - 1. Vamos fazer isso usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini:

$\left|\begin{array}{c}\sf{x^3}\\&\sf{1}\\&\sf{x^2}\end{array}\right| \begin{array}{ccc}\sf{3}&\sf{2}&\sf{-7}\\\\\downarrow&\sf{3}&\sf{5}\\\\\sf{3}&\sf{5}&\sf{-2}\end{array}\right\left|\begin{array}{c}\sf{2}\\&\sf{-2}\\&\sf{0}\\\end{array}\right|\\\\\\\therefore \,\boxed{\sf{q(x)=3x^2+5x-2}}$

A última linha da tabela fornece os coeficientes da equação quociente. Veja que, quando dividimos uma equação de grau 3 por uma de grau 1 , obtemos uma equação de grau 2

3. Resolvendo a equação quociente, temos:

$\sf{3x^2+5x-2=0}\\\\\sf{\Delta = 25-4\cdot3\cdot(-2)}\\\\\sf{\Delta=49}\\\\\sf{x=\dfrac{-5\pm7}{6}}\quad\rightarrow\quad\sf{x''=\dfrac{1}{3}\quad\sf{x'''=-2}$

4. Portanto, a soma dos inversos das raízes é:

$\sf{S=\dfrac{1}{x'}+\dfrac{1}{x''}+\dfrac{1}{x'''}}\\\\\\\sf{S=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1/3}+\dfrac{1}{-2}}\\\\\\\sf{S=1+3-\dfrac{1}{2}}\\\\\\\sf{S=\dfrac{7}{2}}\\\\\\\therefore \boxed{\sf{S=3,5}}$

Conclusão: a alternativa correta é a letra B.

Continue aprendendo com o link abaixo:

Método de Briot-Ruffini

https://brainly.com.br/tarefa/22924447

Bons estudos!

Equipe Brainly