Question

Se (x, x+2, x+1,...) é uma progressão geométrica, então o quarto termo é igual a?

Answer 1

Temos a seguinte progressão geométrica:

$\left(x,\,x+2,\,x+1,\,\ldots \right )$


Em uma progressão geométrica, a razão entre quaisquer dois termos consecutivos é constante:

$\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{a_{3}}{a_{2}}\\ \\ \dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x+1}{x+2}\\ \\ \left(x+2 \right )^{2}=x\cdot \left(x+1 \right )\\ \\ x^{2}+4x+4=x^{2}+x\\ \\ \diagup\!\!\!\!\! x^{2}-\diagup\!\!\!\!\! x^{2}+4x-x+4=0\\ \\ 3x+4=0\\ \\ 3x=-4\\ \\ x=-\dfrac{4}{3}$


Encontrando os termos da P.G.:

$\bullet\;\;a_{1}=x\\ \\ a_{1}=-\dfrac{4}{3}\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{2}=x+2\\ \\ a_{2}=-\dfrac{4}{3}+2\\ \\ a_{2}=\dfrac{-4+6}{3}\\ \\ a_{2}=\dfrac{2}{3}\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{3}=x+1\\ \\ a_{3}=-\dfrac{4}{3}+1\\ \\ a_{3}=\dfrac{-4+3}{3}\\ \\ a_{3}=-\dfrac{1}{3}$


Então a P.G. é 

$\left(-\dfrac{4}{3},\,\dfrac{2}{3},\,-\dfrac{1}{3},\,\ldots \right )$


A razão $q$ desta P.G. é

$q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}\\ \\ q=\dfrac{^{2}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}{^{-4}\!\!\!\diagup\!\!_{3}}\\ \\ q=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{-3}{4}\\ \\ q=\dfrac{-6}{12}\\ \\ q=-\dfrac{1}{2}$


Podemos obter o quarto termo, multiplicando o terceiro pela razão da P.G.:

$a_{4}=a_{3}\cdot q\\ \\ a_{4}=-\dfrac{1}{3}\cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right )\\ \\ a_{4}=\dfrac{1}{6}$

O quarto termo é $\dfrac{1}{6}$.