Question

Se X=log2^raiz quadrada de 2 na base 2 e Y=log10 na base de 0,01, calcule X+Y.

Answer 1

Ok, vamos la:
Dados fornecidos:

$x=log_2(2^{ \sqrt{2}} ) \\ e \\ Y=log_{0,01}10 \\ \\ pede: x+y=z$

Propriedade de potência em logaritmo: Sempre que tiver um logaritmo de um numero que está sendo elevado a outro numero (potencia), você pode pegar a potencia e passar multiplicando o logaritmo, ou seja:

$log_b(a^{x}) = x* log_b(a)$

Resposta:

$x=log_2(2^{ \sqrt{2}} ) \\ \\ x=(\sqrt{2}})*log_22 \\ \\ x=(\sqrt{2}})*1 \\ \\ x=\sqrt{2}$

Definição de logaritmo: A definição de logaritimo nos diz que: Se "a" elevado a "x" é igual a "b" , então o logaritmo de "b" na base "a" é igual a "x", ou seja:

$a^{x} = b \\ \\ entao \\ \\ log_ab=x$

Propriedade de potencia: Se temos o numero "a" elevado a "x" igualado com "a" elevado a y, podemos dizer que: 

$a^{x}=a^{y} \\ \\ x=y$
Isso ocorre pois, para resolver equações com potências tu deve, quase sempre, deixar as bases iguais, pois assim tu pode ignorar ela. 

Exemplo: 
$a^{x} * a^{y} = x+y \\ \\ ou \\ \\ \frac{a^{x}}{a^{y}} = x-y$

Resposta:

$Y=log_{0,01}10 \\ \\ 0,01^{y} = 10 \\ \\ (\frac{1}{100})^{y}=10 \\ \\ =\ \textgreater \ \frac{1000}{100} =10 \\ \\ (\frac{1}{100})^{y}= \frac{1000}{100}^{1} \\ \\ y=1$

entao:

$x+y=z \\ \\ z= \sqrt{2} + 1$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Dal, que a resolução é mais ou menos simples. Depende apenas de conhecimento sobre aplicação de propriedades logarítmicas.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o valor da expressão "x + y", sabendo-se que:

x = log₂ [2^(√2)]        . (I)
e
y = log₀,₀₁ (10)          . (II)

ii) Vamos primeiro trabalhar com a expressão (I), que é esta:

x = log₂ [2^(√2)] ----- conforme uma das propriedades logarítmicas, todo expoente passa a multiplicar o respectivo log. Então teremos isto:

x = (√2)*log₂ (2) ---- como log₂ (2) = 1, pois todo logaritmo que tem a base igual ao logaritmando é igual a "1". Assim, teremos:

x = (√2)*1 --- ou apenas:
x = (√2)  <--- Este é o valor de "x".

iii) Agora vamos trabalhar com a expressão (II), que é esta:

y = log₀,₀₁ (10)  --- ou, o que é a mesma coisa:
log₀,₀₁ (10) = y ---- se você aplicar a definição de logaritmo, teremos exatamente isto:

(0,01)ˠ = 10 --- agora note que 0,01 = 1/100. Logo, ficaremos assim:
(1/100)ˠ = 10 ----- note que 1/100 = 1/10² = 10⁻² . Assim, ficaremos:
(10⁻²)ˠ = 10 ---- multiplicando os expoentes "-2" e "y", ficaremos:
10⁻²ˠ = 10  ---- veja que o "10" do 2º membro tem, na verdade, expoente igual a "1" (apenas não se coloca). Mas é como se fosse assim:

10⁻²ˠ = 10¹ ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Assim, ficaremos da seguinte forma:

- 2y= 1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
2y = - 1
y = -1/2 <----- Este é o valor de "y".

iv) Agora vamos para o que a questão está pedindo, que o valor da soma "x + y". Assim, como já vimos que x = √(2) e que y = -1/2, então teremos:

x + y = √(2) + (-1/2) --- retirando-se os parênteses de "-1/2", ficaremos:
x + y = √(2) - 1/2 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o resultado da soma pedida "x+y".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.