Question

Se x e y são números reais tais que x= (0,25)^0,25 e y=16^-0,125 , é verdade que :
a) x=y
b)x>y 
c)x-y é um número irracional 
d) x+y é um número racional não inteiro 

Answer 1

Olá Julian,

use as propriedades da exponenciação:

$\dfrac{1}{a}~\to~ \dfrac{1}{a^1}~\to~a^{-1}\\\\ (a^m)^n~\to~a^{m*n}~\to~a^{mn}$
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Transformando 0,25 e -0,125 em fração, teremos:

$0,25~\to~\dfrac{25}{100}~\to~ \dfrac{25:25}{100:25}~\to~ \dfrac{1}{4}\\\\\\ -0,125~\to~- \dfrac{125}{1000}~\to~- \dfrac{125:125}{1000:125}~\to~- \dfrac{1}{8}$

A partir daí, usamos as propriedades acima:

$x=(0,25)^{0,25}~\to~ x=\dfrac{1}{4}^{ \tfrac{1}{4} }~\to~x=(2^{-2})^{ \tfrac{1}{4} }~\to~x=2^{- \tfrac{2}{4} }=2^{- \tfrac{1}{2} }$


$y=16^{-0,125}~\to~y=(2^4)^{- \tfrac{1}{8} }~\to~y=2^{- \tfrac{4}{8} }~\to~y=2^{- \tfrac{1}{2} }$

Portanto, x=y. Alternativa A. Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))

Answer 2

Resposta:

A) x=y

Explicação passo a passo:

( 0,25 ) ^(0,25)

Sabendo que 0,25 = 25 / 100  = 1 / 4  

A primeira potência fica:

( 1 / 4 ) ^(1 / 4)

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Cálculo auxiliar :  para já vamos modificar apenas a base da potência

1 / 4 = 1 / ( 2 ² )

como 1 = 1 ²  

a base fica ( 1 / 2 ) ²

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Então  ( 1 / 4 ) ^(1 / 4)

= [ ( 1 / 2 ) ² ] ^(1 / 4 )

temos uma situação de potência de potência

Regra: mantém-se a base e multiplicam-se as potências

= (1 / 2 ) ^( 2 * ( 1 / 4 ) )

= ( 1 / 2 ) ^(2 / 4 )

simplificando o expoente

( 0,25 ) ^(0,25) = ( 1 / 2 ) ^(1 / 2)

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Peguemos na segunda potência

16 ^ (- 0,125 )

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Cálculos auxiliares

16 = 2 ^ 4       e        -  0,125  =  - (125 / 1000 )  =  - 1 / 8

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16 ^ ( - 0,125 )  

= ( 2 ^4 ) ^( -1 / 8 )

temos novamente potência de potência

= 2 ^( 4 * ( - 1 / 8 ) )

= 2 ^(- 4 / 8)

simplificando  a fração que está no expoente

= 2 ^( - 1 / 2 )

Regra : para trocar o sinal de expoente :

para trocar o sinal de um expoente,inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente

a base " 2 "  , que é igual a  " 2 / 1" ,  tem como inverso " 1 / 2 "

Logo:

2 ^( - 1 / 2 )

= ( 1 / 2 ) ^( 1 / 2 )

16 ^ ( - 0,125 ) = ( 1 / 2 ) ^( 1 / 2 )

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Resposta : ( 0,25 )^(0,25) = 16 ^ (- 0,125 ) = ( 1 / 2 )^( 1 / 2)   alínea a)

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Observação:

Ainda é possível modificar ( 1 / 2 )^( 1 / 2) , mas, para efeitos do enunciado,

já se provou que x = y