Question

Se x e y são numeros reais tais que 5y+2x=10, então,o menor valor que x^2+y^2 pode assumir é A) 70/13 B)97/17 C)100/29 D)85/31

Answer 1

5y+2x=10
x=(10-5y)/2

x^2+y^2=(10-5y)²/4+y²
=(100-100y+25y²)/4+y²
=(100-100y+25y²+4y²)/4
=(100-100y+29y²)/4
100-100y+29y² =0 ....a=29>0 ..conc voltada p/cima, valor mínimo
min=-Δ/4a=-[(-100)²-4*(100)*29]/(4*29)
=1600/116=400/29

(x²+y²)min=(400/29)/4=100/29

Answer 2

O menor valor que essa expressão pode assumir é 100/29.

Alternativa C.

Equação do 2° grau

Sendo 5y + 2x = 10, temos:

5y = 10 - 2x

y = (10 - 2x)/5

Como queremos calcular o menor valor de x² + y², vamos substituir o y pelo valor encontrado logo acima.

x² + y² =

x² + [(10 - 2x)/5]² =

x² + [100 - 40x + 4x²/25] =

25x² + 100 - 40x + 4x² =

              25

29x² - 40x + 100 =

          25

29x² - 8x + 4 =

25       5

Temos uma equação do 2° grau, cujos coeficientes são: a = 29/25, b = - 8/5 e c = 4.

Ela tem valor mínimo porque o valor do coeficiente a é positivo (a > 0).

Para encontrar seu valor mínimo, basta encontrar o y do vértice.

Yv = - Δ

         4a

Yv = - (b² - 4ac)

          4.(29/25)

Yv = - ((-8/5)² - 4.(29/25).4)

                   116/25

Yv = - (64/25 - 464/25)

                  116/25

Yv = - (- 400/25)

             116/25

Yv = 400 : 4

         116 : 4

Yv = 100

        29

Pratique mais valor mínimo e máximo de uma função do 2° grau em:

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