Question

Se x e y são números reais, tais que 2 log(x-2y) = logx + logy, qual o valor de x/y ?

Answer 1

O valor de x/y é igual a 4. Utilizando as propriedades do logaritmo, podemos desenvolver o logaritmo dado e resolver o que se pede.

O que é Logaritmo?

A definição de logaritmo é dada como sendo o expoente que se deve elevar uma base e tendo como resultado uma determinada potência, ou seja:

logₐ(b) = x ⇔ aˣ = b

Em que:

• 0 < a ≠ 1

• 0 < b

Com a seguinte nomenclatura:

• a: base do logaritmo;

• b: logaritmando;

• c: logaritmo.

• Logaritmo de um Produto

O produto de dois logaritmos pode ser desenvolvido como a soma dos logaritmos de cada um desses fatores:

logₐ(b × c) = logₐ(b) + logₐ(c)

Assim, dada a equação logarítmica:

log (x - 2y) = log(x) + log(y)

Utilizando a propriedade do produto:

2 ⋅ log (x - 2y) = log(x) + log(y)

log (x - 2y)² = log(xy)

(x - 2y)² = xy

x² - 4xy + 4y² = xy

Dividindo as parcelas por y² (dado que y é diferente de 0):

x² - 4xy + 4y² = xy

x²/y² - 4xy/y² + 4y²/y² = xy/y²

(x/y)² - 4x/y + 4 = x/y

(x/y)² - 5x/y + 4 = 0

Fazendo a substituição x/y = z:

z² - 5z + 4 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² - 4ac

Δ = (-5)² - 4(1)(4)

Δ = 25 - 16

Δ = 9

z = (-b ±√Δ)/2a

z = (-(-5) ±√9)/2

z = (5 ± 3)/2

z' = 1 ou z'' = 4

Desfazendo a substituição:

x/y = 1 ou x/y = 4

Como para x/y = 1, a condição de existência do logaritmo log(x - 2y) não é satisfeita, apenas a solução x/y = 4 é a correta.

Para saber mais sobre Logaritmos, acesse: brainly.com.br/tarefa/52722142

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