Question

Se x e y são números reais, tais que 0 < x < π/2, 0 < y < π/2, sen(x) = 4/5 e cos(y) = 1/3, então o quociente tg(x)/tg(y) é igual a: ​

Answer 1

Resposta:

\frac{ \sqrt{2} }{3}

√(2)/3

Explicação passo-a-passo:

Nota que x e y são arcos do primeiro quadrante.

$\sin(x) = \frac{4}{5}$

sabe-se que:

${ \sin }^{2} (x) + { \cos }^{2} (x) = 1 \\ {( \frac{4}{5}) }^{2} + { \cos }^{2} (x) = 1 \\ { \cos }^{2} (x) = 1 - \frac{16}{25} \\ { \cos }^{2} (x) = \frac{9}{25} \\ \cos(x) = \sqrt{ \frac{9}{25} } \\ cos(x) = \frac{3}{5}$

Então

$\tan(x) = \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } = \frac{ \frac{4}{5} }{ \frac{3}{5} } \\ \tan(x) = \frac{4}{3}$

Da mesma maneira façamos para calcular tan(y)

$\cos(y) = \frac{1}{3}$

${ \sin }^{2} (y) + { ( \frac{1}{3} )}^{2} = 1 \\ { \sin }^{2} (y) = 1 - \frac{1}{9} \\ { \sin }^{2} (y) = \frac{8}{9} \\ \sin(y) = \sqrt{ \frac{8}{9} } = \frac{2 \sqrt{2} }{3}$

$\tan(y) = 2 \sqrt{2}$

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$\frac{ \tan(x) }{ \tan(y) } = \frac{ \frac{4}{3} }{2 \sqrt{2} } = \frac{2}{3 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{3}$