Question

Se x e y são números reais não nulos tais que x²+y² =10 e xy =4. Calcule oo valor numérico da expressão y³ sobre x mais x³ sobre y (y³/x + x³/y).

Answer 1

Se x e y são números reais não nulos tais que x²+y² =10 e xy =4.
Calcule oo valor numérico da expressão y³ sobre x mais x³ sobre y (y³/x + x³/y).
1º) achar o VALOR de (x) e (y)

{x² + y² = 10
{ xy = 4

xy = 4    ( isolar o (y))

        4
y = -----  ( substituir o (y))
        x

x² + y² = 10
x² + (4/x)² = 10

           4
x² + (-------)² = 10
          x

          4²
x² + (-------) = 10
          x²

         4x4
x² + ----------- = 10
          x²
 
          16
x² + ---------- = 10     ( mmc) = x²
           x²

x²(x²) + 1(16) = x²(10)
-------------------------------  FRAÇÃO com igualdade despreza o denominador)
           x²

x²(x²) + 1(16) = x²(10)
x⁴     + 16     = 10x²

x⁴ + 16 = 10x²   ( igualar a ZERO)
x⁴ + 16 - 10x² = 0   ( arruma a casa)

x⁴ - 10x² + 16 = 0   (EQUAÇÃO biquadrada) 4 raizes
                             temos que
                             (ARTIFICIO)
                             x⁴ = y²
                             x² = y 
x⁴ - 10x² + 16 = 0
y² - 10y  + 16 = 0
a = 1
b = - 10
c = 16
Δ = b² - 4ac
Δ = (-10)² - 4(1)(16)
Δ = + 100  - 64
Δ = + 36 ----------------------------> √Δ = 6 porque √36 = 6
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
y = - b + √Δ/2a

y' = - (-10) - √36/2(1)
y' = + 10 - 6/2
y' = 4/2
y' = 2  (desprezamos)
e
y" = -(-10) + √36/2(1)
y" = + 10+ 6/2
y" =16/2
y" =8

VOLTANDO
para
y = 8
x² = y
x² = 8
x = + √8

x = - √8  ( desprezamos)
 então
x = + √8

então
x = √8
y = 8

y³        x³
---- + ------
x        y                                       
                                                        
(8)³     (√8)³                                       
----- + -------                                             
 √8      8                                                       
 
(8x8x8)    (√8√8√8)
------------+ ---------------
 √8              8 

512        √8x8x8
------ + --------------
√8             8

512      √512
------ + ---------         mmc = 8√8
√8           8

8(512) + √8(√512)
--------------------------
         8√8

4096    +  √8(512)
-------------------------
         8√8


4096 +   √4096
------------------------                                       fatora  8| 2
        8√8                                                            4| 2 
                                                                          2| 2
4096 + 64                                                            1/  = 2.2.2
---------------                                                                = 2².2
    8√8

4160         4160(√8)    4160√8        4160√2².2      4160(2)√2
----------- = -------------= ------------- = -----------------  = ---------------
8√8           8√8(√8)      8√8x8           8√64             8.8


4160(2)√2      8320√2
------------- = --------------- = 130√2
    8x8               64