Question

Se x e y são números naturais ...Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 115 e m.d.c(y, x) = 214, podemos dizer que o resto da divisão de xy por 107 é:

(A) é divisível por 2
(B) é divisível por 11
(C) é divisível por 1.568
(D) é divisível por 11.280 
(E) todas as alternativas anteriores

Answer 1

SESSÃO ESPECIAL: DUAS QUESTÕES PELOS PONTOS DE UMA. SÓ HOJE!

Lembra da prova real da divisão? Quando se tem um dividendo $D$ e queremos dividi-lo por um divisor $d$ encontramos um quociente $q$ e resto $r$. Tu sabe se fez a divisão corretamente se

$D=d.q+r$

Vou usar essa identidade acima nas duas questões. Quando eu citar "identidade" nas resoluções falo dessa coisinha acima ;D

1- Dizemos que $d$ é divisor de um número $N$, ou que $N$ é divisível por $d$, se o resto da divisão de $N$ por $d$ é 0. mdc significa "máximo divisor comum", portanto o mdc de dois números é um divisor desses dois números, ou seja

$mdc(a,b)=d\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=d.q_1 \\ b=d.q_2\end{array}\right.$

Na questão temos que $a=y,\ b=x$ e $d=214=2.107$. Pelo que disse acima temos que:

$mdc(y,x)=214\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=214q_1\\ x=214q_2\end{array}\right.$

Daí agora podemos calcular o produto $xy$ e dividi-lo por 107:

$x.y=214q_2.214q_1\Rightarrow \boxed{xy=107.(2.214q_1q_2)}$

O que o resultado acima quer dizer? Se fizermos $D=xy$, $d=107$ e $q=2.214q_1q_2$ na identidade encontramos que o resto só pode ser 0. E é bem fácil ver que 0 é divisível por qualquer número, menos por ele mesmo, o que significa que o resto da divisão de $xy$ por 107 é divisível por 2, 11, 1568 e 11280.

R: (E) todas as alternativas anteriores

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2- Existe uma igualdade bastante interessante na matemática que trata justamente do mmc como do mdc, que é essa:

$\boxed{mdc(a,b).mmc(a,b)=a.b}$

Fazendo $a=y[tex], [tex]b=x$ e substituindo o que foi dado teremos:

$mdc(y,x).mmc(y,x)=y.x\Rightarrow 2.154=xy\Rightarrow xy=308$

Analisando as alternativas vemos que a única que é verdade é a alternativa d.

R: (D) é divisível por 11