Se x e y são números inteiros, 1 menor ou igual a x menor que y menor ou igual a 12, determine o menor valor que x+y / xy pode assumir.
Soluções para a tarefa
Dados dois números inteiros (positivos) e, com 1<x<y<12
queremos encontrar o par (x,y) que minimize a fração
f(x,y)= x+y/xy
Podemos decompor a fração, ficando com
f(x) = 1/x+1/y
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Temos uma soma de frações com numerador 1 e denominadores positivos. O que sabemos a respeito deste tipo de fração?
Quanto maior o denominador, menor será o valor da fração.
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Para minimizar a soma, basta que minimizemos cada uma das parcelas. Então, devemos escolher e de forma que cada uma das frações tenha o menor valor possível.
O maior valor possível para x é x = 10 restando apenas uma possibilidade para y que é y = 11
Logo, escolhendo o par (10, 11) obtemos
f (10, 11) = 1/10 + 1/11
f (10, 11) = 10+11/10*11
f (10, 11) =21/110
e, este de fato é o menor valor possível que a fração pode assumir.
z =(x+y)/(x*y)
z=x/xy +y/xy
z= 1/y +1/x
queremos o menor valor, logo queremos os maiores valores para
x e y ==> 1 ≤ x < y ≤ 12
Observe y menor ou igual 12
Se y=12 ==>x<y ==> x<12 ==> x=11
z= 1/12 +1/11 = 0,1742424.... é o menor valor