Question

se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar que A = (cosx - cosy) ² + (senx + seny) ² é igual a: a)0 b)1/2 c)3/2 d)1 e)2

Answer 1

$A= (cos ~x- cos ~y)^2 + (sen ~x+ sen ~y)^2$

Desenvolvendo os quadrados contidos na expressão A:
$A= (cos ~x- cos ~y)^2 + (sen ~x+ sen ~y)^2 \\ \\ A= (cos^2 ~x- 2 cos ~x cos ~y + cos^2 ~y) + (sen^2 ~x + 2 sen ~x sen ~y + sen ^2 ~y)$

A Relação Fundamental da Trigonometria (RFT) define que:
$sen^2 ~x + cos^2 ~x= 1$

Portanto, reorganizando a equação A e substituindo o valor da RFT:
$A= (cos^2 ~x- 2 cos ~x cos ~y + cos^2 ~y) + (sen^2 ~x + 2 sen ~x sen ~y + sen ^2 ~y) \\ \\ A= cos^2 ~x+sen^2 ~x + cos^2 ~y + sen^2 ~y -2 cos ~x cos ~y+2 sen ~x sen ~y \\ \\ A= 1+1-2 cos ~x cos ~y+2 sen ~x sen ~y \\ \\ A= 2-2 cos ~x cos ~y+2 sen ~x sen ~y$

Tratando-se de arcos complementares, teremos que a soma de ambos será igual a 90º. Equacionando essa situação e escrevendo um arco em função do outro:
$x+y= 90^\circ \\ \\ x= 90^\circ - y$

Substituindo a informação acima em A:
$A= 2-2 cos ~x cos ~y+2 sen ~x sen ~y \\ \\ A= 2- 2 \cdot cos ~(90^\circ - y) \cdot cos ~y + 2 \cdot sen ~(90^\circ-y) \cdot sen ~y$

Em trigonometria, temos que:
$cos ~(90^\circ-y)= sen ~y \\ \\ sen ~(90^\circ-y)= cos ~y$

Substituindo novamente e fazendo a subtração, encontraremos que A equivale a:
$A= 2- 2 \cdot cos ~(90^\circ - y) \cdot cos ~y + 2 \cdot sen ~(90^\circ-y) \cdot sen ~y \\ \\ A= 2-2 \cdot sen ~y \cdot cos ~y+2 \cdot cos ~y \cdot sen ~y \\ \\ \boxed{\boxed{A= 2}}$