Question

se x e y sao as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo tais que cos^2 x= 3 cos^2 y entao a diferença y-x e igual a

Answer 1

Resposta:

Tem-se a seguinte questão: se "x" e "y" são as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, tais que cos²(x) = 3cos²(y), então a diferença y-x e igual a quanto?

ii) Antes veja que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares, ou seja, a sua soma dará igual a 90º, pois se o triângulo é retângulo, então já tem um ângulo que vale 90º (que é o ângulo reto), ficando a soma dos outros dois ângulos agudos ("x' e "y") resultando também em 90º, pois os ângulos internos de um triângulo SEMPRE somam 180º (90º + 90º = 180º).

iii) Agora veja: se os ângulos "x" e "y" desse triângulo retângulo são complementares, teremos, como já visto, que x + y = 90º. E se eles dois são complementares, então teremos que: cos(x) = sen(y) e vice-versa, ou seja, cos(y) = sen(x).

E já temos, conforme foi dado no enunciado da questão, que:

cos²(x) = 3cos²(y) ---- e como já vimos que os ângulos são complementares, então poderemos substituir cos²(x) por sen²(y). Assim, a relação acima ficará sendo esta:

sen²(y) = 3cos²(y) . (I)

iv) Note que, pela primeira relação fundamental da trigonometria, temos que:

sen²(y) + cos²(y) = 1 . (II)

Veja: na expressão (II) acima, substituiremos sen²(y) por "3cos²(y)," conforme visto na expressão (I) acima. Assim, fazendo essa substituição na expressão (II), ficaremos assim:

3cos²(y) + cos²(y) = 1

4cos²(y) = 1

cos²(y) = 1/4 ------ isolando "cos(y)", teremos:

cos(y) = ± √(1/4) ---- como √(1/4) = 1/2, teremos:

cos(y) = ± 1/2 ----- mas como os ângulos são agudos, então eles estão no 1º quadrante. E, no 1º quadrante, todas as funções trigonométricas são positivas. Logo, descartaremos a raiz negativa e ficaremos apenas com a raiz positiva. Assim:

cos(y) = 1/2 ---- veja que este valor é de um ângulo notável. Note que cos(60º) = 1/2. Logo, se temos que cos(y) = 1/2 é porque o arco "y" vale 60º, ou seja, temos que:

y = 60º.

v) Ora, mas como os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares, então o ângulo "x" valerá "30º", pois: = 90º - 60º = 30º.

Assim, já vimos que o ângulo "y" mede 60º e o ângulo "x" mede 30º. Logo, a diferença entre eles (y - x) será:

y - x = 60º - 30º = 30º <--- Esta é a resposta.