Question

Se x é um numero real tal que x+ 1/x =3 então o valor de x³+ 1/x³ é:
A) 9.
B) 18
C) 27
D) 36
E) 45

Answer 1

O cubo da soma de dois números a e b é igual a:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Vamos considerar que a = x e $b = \frac{1}{x}$. Daí, temos então que:

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3+3x^2\frac{1}{x} + 3x\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}$

Simplificando:

$(x+\frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3x - \frac{3}{x}$

Perceba que em $-3x-\frac{3}{x}$ podemos colocar o -3 em evidência:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

Como, de acordo com o enunciado, $x + \frac{1}{x} = 3$, então:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3^3 - 3.3$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 - 9$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 18$

Alternativa correta: letra b).

Answer 2

O valor de x³ + 1/x³ é:  

B) 18

Explicação:

Será utiliza a fórmula do cubo da soma de dois termos.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab³ + b³

No caso, temos: a = x e b = 1/x. Então:

(x + 1/x)³ = x³ + 3·x³·(1/x) + 3·x·(1/x)³ + (1/x)³

(x + 1/x)³ = x³ + 3·x²/x + 3·x/x² + 1/x³

(x + 1/x)³ = x³ + 3·x + 3·1/x + 1/x³

(x + 1/x)³ = x³ + 3x + 3/x + 1/x³

(x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3x + 3/x

Colocando 3 em evidência, temos:

3x + 3/x = 3·(x + 1/x)

Então:

(x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3·(x + 1/x)

Agora, basta substituir os valores informados no enunciado.

x + 1/x = 3. Então:

(3)³ = x³ + 1/x³ + 3·(3)

27 = x³ + 1/x³ + 9

x³ + 1/x³ = 27 - 9

x³ + 1/x³ = 18

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