Question

Se x é um número real, resolva a equação exponencial 3 elevado a 2x +3 elevado a x+1 =18:

Answer 1

$3^{2x}+3^{x+1}=18 \\ (3^x)^2+3^x.3-18=0$
Fazendo a mudança de variável $y=3^x$, a equação fica:
$y^2+3y-18=0 \\ \Delta=b^2-4ac=9-4.1.(-18)=81 \\ y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm 9}{2} \\ y'=3 \\ y''=-6$
Retornando para a variável original, $3^x=3 \\ x=1$ e para $y=-6$, não convém pois, a função exponencial é sempre não negativa.

Answer 2

A solução da equação exponencial $3^{2x}+3^{x+1}=18$ é x = 1.

Temos que a equação exponencial é $3^{2x}+3^{x+1}=18$.

Perceba que podemos reescrever a equação exponencial da seguinte maneira:

$(3^x)^2 + 3^x.3=18$.

Vamos fazer a substituição y = 3ˣ. Assim, obteremos a seguinte equação do segundo grau:

y² + 3y - 18 = 0.

Para resolver a equação do segundo grau acima, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = 3² - 4.1.(-18)

Δ = 9 + 72

Δ = 81

Como Δ > 0, então a equação do segundo grau possui duas soluções reais positivas.

$y=\frac{-3+-\sqrt{81}}{2}$

$y=\frac{-3+-9}{2}$

$y'=\frac{-3+9}{2}=3$

$y''=\frac{-3-9}{2}=-6$.

Agora, vamos testar os dois valores de y na substituição feita inicialmente.

Se y = 3, então: 3 = 3ˣ ∴ x = 1.

Se y = -6, então: -6 = 3ˣ. Neste caso, não temos solução.

Portanto, o conjunto solução da equação exponencial é S = {1}.

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