Question

Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de $\sqrt[7]{x}$(x)é igual a
A ( ) 285. B ( ) 286. C ( ) 287. D ( ) 288. E ( ) 289.

Answer 1

Vamos lá:

Sabe-se que:

10¹ = 10 (2 algarismos)
10² = 100 (3 algarismos)
10³ = 1000 (4 algarismos)
.
.
.

E assim por diante.

Agora, se perceberes, temos que o número de algarismos do produto é igual ao valor da potência + 1. Então, temos: 

10^n = número com n + 1 algarismos

Se queremos um número com 2015 dígitos, o menor número é 10^2014, pois 10^n = n + 1 e, nesse caso, n + 1 = 2015, então n = 2014.

O maior número de 2015 digitos é (10^2015) - 1, que é menor que 10^2015. Então:

10^2014 ≤ x < 10^2015

Mas, queremos $\sqrt[7]{x}$ (raiz de indice 7 de x). Então:

$\sqrt[7]{10^2014}$ ≤ $\sqrt[7]{x}$ < $\sqrt[7]{10^2015}$
$\sqrt[7]{10^2009.10^5}$ ≤ $\sqrt[7]{x}$ < $\sqrt[7]{10^2009.10^6}$
$\sqrt[7]{10^2009}$ = 10^287
10^287.$\sqrt[7]{10^5}$ ≤ $\sqrt[7]{x}$ < 10^287.$\sqrt[7]{10^6}$
$\sqrt[7]{10^5}$ = 10^(5/7)
$\sqrt[7]{10^6}$ = 10^(6/7)
10^287.10^(5/7) ≤ $\sqrt[7]{x}$ < 10^287.10^(6/7)
5/7 = aprox. 0,71
6/7 = aprox. 0,85

10^(287 + 0,71) ≤ $\sqrt[7]{x}$ < 10^(287 + 0,85)
10^287,71 ≤ $\sqrt[7]{x}$ < 10^287,85

Então, temos que $\sqrt[7]{x}$ está entre 10^287,71 e 10^287,85, o que significa que a parte inteira dele tem 288 digitos (considerando apenas a parte do expoente inteira, o 287, pois o restante dará um valor decimal e baixíssimo, não levado em consideração na questão).

Alternativa D

Espero ter ajudado