Question

se x é um arco do terceiro quadrante tal que tgx= $\frac{2}{3}$ , o valor do senx é

Answer 1

$\mathrm{tg\,}x=\dfrac{2}{3}\\ \\ \\ \dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}=\dfrac{2}{3}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$\left(\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x} \right )^{2}=\left(\dfrac{2}{3} \right )^{2}\\ \\ \\ \dfrac{\mathrm{sen\,^{2}}x}{\cos^{2}x}=\dfrac{4}{9}\\ \\ \\ 9\,\mathrm{sen\,^{2}}x=4\cos^{2}x~~~~~~\mathbf{(i)}$


Sabemos que pela Relação Fundamental da Trigonometria

$\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}}x=1~\Rightarrow~\cos^{2}x=1-\mathrm{sen^{2}\,}x$


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ temos

$9\,\mathrm{sen\,^{2}}x=4\cdot (1-\mathrm{sen^{2}\,}x)\\ \\ 9\,\mathrm{sen\,^{2}}x=4-4\,\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ 9\,\mathrm{sen\,^{2}}x+4\,\mathrm{sen^{2}\,}x=4\\ \\ 13\,\mathrm{sen^{2}\,}x=4\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=\dfrac{4}{13}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm \sqrt{\dfrac{4}{13}}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm \dfrac{2}{\sqrt{13}}$


Como $x$ é um arco do terceiro quadrante, o seno de $x$ é negativo. Portanto,

$\boxed{\begin{array}{c}\mathrm{sen\,}x=-\dfrac{2}{\sqrt{13}} \end{array}}$


ou caso prefira racionalizar o denominador (o que não é necessário),

$\mathrm{sen\,}x=-\dfrac{2\cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\mathrm{sen\,}x=-\dfrac{2\sqrt{13}}{13} \end{array}}$