Question

– Se x é um ângulo tal que 2cos(x + 30°) = sen(x - 30°), então tg x é da forma a + braiz de 3 . Sobre os números a e b, assinale o que for correto.

01) a e b são pares.
02) a < b
04) a + b < 0
08) a e b são racionais.
16) a e b são negativos.

Answer 1

Sabemos que:


cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b

sin(a - b) = sin a.cos b - cos a.sin b


Portanto:


2cos(x + 30°) = sin(x - 30°)

2(cos x. cos 30° - sin x.sin 30°) = sin x.cos 30° - cos x.sin 30°

2[(cos x.√3/2) - (sin x.1/2)] = sin x.√3/2 - cos x.1/2

cos x.√3 - sin x = (sin x.√3 - cos x)/2

cos x.2√3 - 2.sin x = sin x.√3 - cos x

cos x.2√3 + cos x = sin x.√3 + 2.sin x

cos x.(1 + 2√3) = sin x.(2 + √3)


Como tg x = sin x/cos x, teremos que:


sin x/cos x = (1 + 2√3)/(2 + √3)

tg x = [1/(2 + √3)] + [2√3/(2 + √3)]


Se tg = a + b√3, logo:


a + b√3 = [1/(2 + √3)] + [2/(2 + √3)].√3


Por consequência:


a = 1/(2 + √3)

b = 2/(2 + √3)


Analisando as alternativas:


01) Incorreta. Os coeficientes a e b não são números pares.

02) Correta. Como o coeficiente b equivale a 2 vezes o coeficiente a, a será menor que b.

04) Incorreta. A soma dos coeficientes equivale a 3/(2 + √3), um número maior do que zero.

08) Incorreta. Os coeficientes a e b são números irracionais, pois há √3, um número irracional, no denominador de ambos.

16) Incorreta. Ambos os coeficientes são maiores que zero, ou seja, números positivos.


Soma = 02