Question

Se x é a solução da equação 3^4x-1+9^x=6, então x^x é igual a:

√2/2
1/4
1/2
1
27

Answer 1

Equação: $3^{4x-1}+9^x= 6$


Colocando em potência de base 3:
$3^{4x-1}+9^x= 6 \\ \\ 3^{4x-1}+(3^2)^x= 6$

Aplicando a propriedade da potência de uma potência:
$3^{4x-1}+(3^2)^x= 6 \\ \\ 3^{4x-1}+ 3^{2x}= 6$

Trabalhando os expoentes da equação:
$3^{4x-1}+ 3^{2x}= 6 \\ \\ \frac{3^{4x}}{3} + 3^{2x}= 6 \\ \\ 3 \cdot (\frac{3^{4x}}{3} + 3^{2x})= 3 \cdot 6 \\ \\ 3^{4x}+ 3 \cdot 3^{2x} = 18$

Reescrevendo a expressão e atribuindo que $3^{2x}= k$:
$3^{4x}+ 3 \cdot 3^{2x} = 18 \\ \\ (3^{2x})^2 + 3 \cdot 3^{2x} = 18 \\ \\ k^2+3k= 18 \\ \\ k^2+3k-18= 0$

Encontrando as soluções para essa equação do segundo grau utilizando o método da fatoração:
$k^2+3k-18= 0 \\ \\ (k-3) \cdot (k+6)= 0 \\ \\ \\ k-3= 0 ~~~~~~~~~~~~~~~ k+6= 0 \\ \\ \boxed{k= 3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ k= -6$

Obs.: perceba que quando k for igual a -6 não convém, pois número positivo elevado a qualquer potência nunca retornará um valor negativo.

Voltando em nossa substituição inicialmente feita:
$3^{2x}= k \\ \\ 3^{2x}= 3$

Bases iguais, expoentes iguais:
$2x= 1 \\ \\ \boxed{x= \frac{1}{2}}$

Agora, encontrando o que foi pedido no enunciado, o valor de $x^x$:
$x^x= (\frac{1}{2})^{ \frac{1}{2} } \\ \\ x^x= \sqrt{ \frac{1}{2} } \\ \\ x^x= \frac{1}{\sqrt{2}}$

Racionalizando:
$x^x= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\ \\ x^x= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} \\ \\ \boxed{\boxed{x^x= \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Answer 2

O valor de x^x é √2/2.

Temos uma equação exponencial, então devemos igualar as bases e trabalhar com os expoentes, para isso vamos escrever 9 como 3², assim ficamos com:

3^(4x-1) + (3²)^x = 6

3^(4x-1) + 3^(2x) = 6

3^(4x) . 3^(-1) + 3^(2x) = 6

Multiplicando a equação por 3 temos:

3^(4x) + 3.3^(2x) = 18

Aplicando uma mudança de variáveis y = 3^(2x), temos:

y² + 3y - 18 =0

Utilizando a fórmula de Bhaskara, encontramos y' = 3 e y'' = -6. Logo, o valor de x será:

3 = 3^(2x)

2x = 1

x = 1/2

Como a base é positiva, a potência sempre será um número positivo, logo -6 não é uma resposta válida. Temos então que x^x é:

(1/2)^(1/2) = √2/2

Resposta: A

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