Question

se x=√3•cossec(2x)+cos(8x), f(π/6) é igual a:

a) 5/2
b) 0
c) 1
d) 3/2
e) 2

Answer 1

Se f(x) =√3•cossec(2x)+cos(8x) 
e você quer f(π/6), basta substituir onde tem x por π/6.

Teremos: 
f(π/6) = √3 . cossec(2.π/6) + cos( 8π/6)
f(π/6) = √3 . cossec(π/3) + cos(4π/3)

Primeiro vamos lidar com o cos.

Você pode pensar em π em graus, ou seja, 180°. 
Então, cos(4.180/3) = cos(240°)

Não é um cosseno comum de calcularmos, mas podemos escrever como sendo cos(180°+60°) e calcularmos o cosseno dessa soma. Pela fórmula:

Cos(a+b) = Cos (a) Cos (b) - Sen (a) Sen (b)

onde a e b são os ângulos. Então teremos:

Cos(180°+60°) = Cos (180°) Cos (60°) - Sen (180°) Sen (60°)
Cos(180°+60°) = -1 . 1/2 - 0 . (√3)/2
Então, Cos(240°) =  -1/2. 

Você pode o seno e cosseno desses ângulos pelo círculo trigonométrico, se sentir dificuldade.

Agora vamos para a cossec(π/3). A co-secante é o inverso do seno. Ou seja, cossec = 1/sen. 

Então, vamos lá! Precisamos tão somente encontrar o seno de π/3. Mais uma vez, para facilitar, podemos ver π como 180°, e teremos 180°/3 = 60°. E conhecemos o seno de 60°, que é (√3)/2

Então, teremos o inverso de (√3)/2, que é 2/√3, ou racionalizando, (2√3)/3. 
Voltando agora ao f(x)..

f(π/6) = √3 . cossec(π/3) + cos(4π/3)


cossec(π/3) = (2√3)/3
cos(4π/3) = -1/2.

Então, f(π/6) = √3 .(2√3)/3 + (-1/2)

f(π/6) = 2(√3)²/3 - 1/2
f(π/6) = 2 - 1/2

Tirando o mmc: 

f(π/6) = (4 - 1)/2 = 3/2.

Espero ter ficado claro.