Question

Se |(x – 3)2 + 2| < |x – 7|

Answer 1

Vamos lá.

i) Pede-se para marcar a opção correta a partir da seguinte equação modular:

|(x-3)² + 2| < |x - 7| ----- desenvolvendo o quadrado no 1º membro, temos:
|(x²-6x+9) + 2| < |x - 7| --- retirando-se os parênteses do 1º membro, temos:
|x²-6x+9 + 2| < |x - 7| ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, temos:

|x² - 6x + 11| < |x - 7|.

ii) Agora vamos para as condições de existência de funções modulares:

ii.1) Para (x²-6x+11) ≥ 0 e para (x - 7) ≥ 0, iremos ter isto:

x² - 6x + 11 < x - 7 ---- passando todo o 2º membro para o 1º temos:
x² - 6x + 11 - x + 7 < 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
x² - 7x + 18 < 0 ---- note que se você aplicar Bháskara vai notar que esta equação do 2º grau vai ter delta negativo, significando dizer que ela não terá raízes reais. E mais: como o termo "a" é positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²) então o fato de a equação não ter raízes reais significaria dizer que ela seria SEMPRE positiva. E como está escrito que ela deverá ser negativa, então não vamos encontrar valores pra "x" que satisfaçam. Logo, descartaremos as hipóteses de (x²-6x+11) ≥ 0 e (x-7) ≥ 0.

ii.2) Para (x²-6x+11) ≥ 0 e (x - 7) ≤ 0, iremos ter isto:

x² - 6x + 11 < - (x - 7) --- retirando-se os parênteses do 2º membro, ficamos:
x² - 6x + 11 < - x + 7 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, temos:
x² - 6x + 11 + x - 7 < 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
x² - 5x + 4 < 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará que as raízes são estas:

x' = 1
x'' = 4

Agora vamos estudar a variação de sinais da equação dada, que queremos que seja menor do que zero. Assim, teremos;

x² - 5x + 4 < 0 ...+ + + + + + + (1) - - - - - - - - - - - (4) + + + + + + + + + +

Como queremos que a inequação seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS no gráfico acima. Logo, teremos que:

1 < x < 4 ----- Este é um intervalo válido para as hipóteses que consideramos.

ii.3) Agora veja: se, agora, formos considerar (x²-6x+11) ≤ 0 e (x-7) ≥ 0, iremos encontrar conjunto-solução ou repetido com o que já vimos ou simplesmente encontraremos algo impossível, como também já vimos.
Veja, a propósito, que a primeira expressão (x²-6x+11) NUNCA poderá ser menor ou igual a "0", pois o seu delta é negativo e, como tal, ela não terá raízes reais. E considerando que o termo "a" é positivo, então a equação será SEMPRE positiva e assim, NUNCA poderíamos considerá-la menor ou igual a "0".

Dessa forma, segue-se que o conjunto-solução será o que já encontramos e será este:

1 < x < 4 ---- Esta é a resposta. Opção "A".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.