Question

Se x+1/x=3, então o valor de x^4+1/x^4 é?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre expansão binomial.

Sabendo que $x+\dfrac{1}{x}=3$, devemos determinar o valor da expressão: $x^4+\dfrac{1}{x^4}$.

Eleve ambos os lados da expressão à quarta potência:

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^4=3^4$

Lembre-se que: $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$. Assim teremos:

$x^4+4\cdot x^3\cdot\dfrac{1}{x}+6\cdot x^2\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^2+4\cdot x\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(\dfrac{1}{x}\right)^4=81$

Calcule as potências, lembrando que $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n},~b\neq0$.

$x^4+4\cdot x^3\cdot\dfrac{1}{x}+6\cdot x^2\cdot\dfrac{1}{x^2}+4\cdot x\cdot\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}=81$

Multiplique e simplifique as frações, tal que $x\neq0$

$x^4+4x^2+6+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}=81$

Subtraia $6$ em ambos os lados da equação e fatore a expressão

$x^4+4\cdot\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+\dfrac{1}{x^4}=75$

Então, novamente utilizando a expressão inicial, eleve ambos os lados da equação à segunda potência

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=3^2$

Lembre-se que: $(a+b)^4=a^2+2ab+b^2$. Assim teremos:

$x^2+2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=9$

Calcule a potência e multiplique os termos

$x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=9$

Subtraia $2$ em ambos os lados da equação

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$

Substituindo este resultado onde havíamos parado, temos:

$x^4+4\cdot7+\dfrac{1}{x^4}=75$

Multiplique os valores

$x^4+28+\dfrac{1}{x^4}=75$

Subtraia $28$ em ambos os lados da equação

$x^4+\dfrac{1}{x^4}=47~~\checkmark$

Este é o valor numérico da expressão que buscávamos.