Question

se x+1/x=3, encontre x^5+1/x^5.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades sobre potenciação.

Seja o valor da expressão $x+\dfrac{1}{x}=3$. Devemos determinar o valor de $x^5+\dfrac{1}{x^5}$.

Primeiro, elevamos ambos os lados da expressão à quinta potência:

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^5=3^5$

Calcule a expansão binomial, sabendo que $(a+b)^5=a^5 + 5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$

$x^5+5\cdot x^4\cdot \dfrac{1}{x}+10\cdot x^3\cdot \dfrac{1}{x^2}+10\cdot x^2\cdot \dfrac{1}{x^3}+5\cdot x\cdot \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{x^5}=243$

Multiplique os termos

$x^5+5x^3+10x+\dfrac{10}{x}+\dfrac{5}{x^3}+\dfrac{1}{x^5}=243$

Fatoramos a expressão e obtemos:

$x^5+5\cdot\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right) +10\cdot\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{1}{x^5}=243$

Precisamos encontrar o valor de $x^3+\dfrac{1}{x^3}$

Elevamos ambos os lados da expressão inicial à terceira potência

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+3^3\\\\\ x^3+3x^2\cdot \dfrac{1}{x}+3x\cdot\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}=27\\\\\\ x^3+3\cdot\left(x + \dfrac{1}{x}\right) +\dfrac{1}{x^3}=27$

Substitua o valor da expressão

$x^3+3\cdot 3+\dfrac{1}{x^3}=27\\\\\ x^3+\dfrac{1}{x^3}=18$

Substituindo estes valores na expressão que buscamos, temos:

$x^5+5\cdot 18+10\cdot 3+\dfrac{1}{x^5}=243\\\\\ x^5+\dfrac{1}{x^5}+120=243$

Subtraia $120$ em ambos os lados da equação

$x^5+\dfrac{1}{x^5}=123~~\checkmark$

Este é o valor da expressão que buscávamos.