Question

Se x-1, x+1, 3x-1 são, nesta ordem os três primeiros termos de uma P.G crescente, calcular a expressão do termo geral dessa progressão.

Answer 1

Sendo o termo geral da P.G :

a(n) = a(1) · qⁿ⁻¹

Temos o a(1), agora devemos encontrar o q (razão da P.G), para isso devemos perceber que a divisão do terceiro termo pelo segundo termo deve ser igual a divisão do segundo termo pelo primeiro termo, logo:

$\frac{3x-1}{x+1}$ = $\frac{x+1}{x-1}$ 
 (3x-1) · (x-1) = (x+1) · (x+1)
  3x² - 3x - x + 1= x² + 2x +1
  3x² - x² - 3x -2x -x +1 - 1 = 0
   2x²-6x=0  ->Dividindo tudo por 2:
    x² -3x = 0

Raízes x=0 e x=3

Agora temos que testar os dois possíveis valores:

x=0 : P.G (0-1,0+1,3·0-1) = (-1,1,-1)
 A P.G não faz sentido, pois ela deve ser crescente!

x= 3 : P.G (3-1,3+1,3·3-1) = (2,4,8)
Agora sim temos uma P.G crescente e de q(razão)=2

Portanto, a expressão do termo geral é :

a(n) = a(1) · qⁿ⁻¹
a(n) = 2 · 2ⁿ⁻¹
a(n) = 2ⁿ