Se x-1, x+1, 3x-1 são, nesta ordem os três primeiros termos de uma P.G crescente, calcular a expressão do termo geral dessa progressão.
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Sendo o termo geral da P.G :
a(n) = a(1) · qⁿ⁻¹
Temos o a(1), agora devemos encontrar o q (razão da P.G), para isso devemos perceber que a divisão do terceiro termo pelo segundo termo deve ser igual a divisão do segundo termo pelo primeiro termo, logo:
=
(3x-1) · (x-1) = (x+1) · (x+1)
3x² - 3x - x + 1= x² + 2x +1
3x² - x² - 3x -2x -x +1 - 1 = 0
2x²-6x=0 ->Dividindo tudo por 2:
x² -3x = 0
Raízes x=0 e x=3
Agora temos que testar os dois possíveis valores:
x=0 : P.G (0-1,0+1,3·0-1) = (-1,1,-1)
A P.G não faz sentido, pois ela deve ser crescente!
x= 3 : P.G (3-1,3+1,3·3-1) = (2,4,8)
Agora sim temos uma P.G crescente e de q(razão)=2
Portanto, a expressão do termo geral é :
a(n) = a(1) · qⁿ⁻¹
a(n) = 2 · 2ⁿ⁻¹
a(n) = 2ⁿ
a(n) = a(1) · qⁿ⁻¹
Temos o a(1), agora devemos encontrar o q (razão da P.G), para isso devemos perceber que a divisão do terceiro termo pelo segundo termo deve ser igual a divisão do segundo termo pelo primeiro termo, logo:
=
(3x-1) · (x-1) = (x+1) · (x+1)
3x² - 3x - x + 1= x² + 2x +1
3x² - x² - 3x -2x -x +1 - 1 = 0
2x²-6x=0 ->Dividindo tudo por 2:
x² -3x = 0
Raízes x=0 e x=3
Agora temos que testar os dois possíveis valores:
x=0 : P.G (0-1,0+1,3·0-1) = (-1,1,-1)
A P.G não faz sentido, pois ela deve ser crescente!
x= 3 : P.G (3-1,3+1,3·3-1) = (2,4,8)
Agora sim temos uma P.G crescente e de q(razão)=2
Portanto, a expressão do termo geral é :
a(n) = a(1) · qⁿ⁻¹
a(n) = 2 · 2ⁿ⁻¹
a(n) = 2ⁿ
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