Question

Se x ≤ 1, f(x) = $\sqrt{4-x}$
Se x > 1, f(x) = x²-2x+2

f é contínua em 1? Justifique.

Answer 1

Definição: Seja $f:I\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função e $x_{0}\in I.$ Dizemos que $f$ é contínua em $x_{0}$ se, e somente se,

$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,f(x)=f(x_{0})$

Resumindo: Uma função é contínua em um ponto $x_{0}$ do domínio, quando o limite da função ao se aproximar do ponto $x_{0}$ (pelos dois lados) é igual ao próprio valor da função em $x_{0}.$


Para a função dada:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{4-x},&\text{ se }x\leq 1\\ \\ x^{2}-2x+2,&\text{ se }x>1 \end{array} \right.$


$\bullet\;\;$ Calculando $f(1):$

$f(1)=\sqrt{4-1}\\ \\ f(1)=\sqrt{3}$


$\bullet\;\;$ Calculando o limite pela esquerda (para valores próximos de $x=1,$ mas menores que $1:$

$\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,f(x)\\ \\ =\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,(x^{2}-2x+2)\\ \\ =1^{2}-2\cdot 1+2\\ \\ =1 \neq f(1)$


Logo, $f$ não é contínua em $1.$