Question

Se w=ln($x^{2} +y^{2}+z$) de modo que x=cos($\frac{8}{-39}t$), y=sin($\frac{8}{-39}t$) e z=$\frac{8}{-39}t$, então expresse $\frac{dw}{dt}$ utilizando a regra da cadeia. Em seguida, calcule $\frac{dw}{dt}$ no valor t=5−$\frac{1}{16}$.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$w = \ln(x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} )$

A questão também nos fornece os valores de x, y e z para que possamos substituir:

$x= \cos \left(\frac{8}{-39}t \right) , \: \: y= \sin \left(\frac{8}{-39}t \right) \: \: e \: \: z=\frac{8}{-39}t \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Fazendo a substituição desses valores na função:

$w = \ln \left( \left( \cos \left( - \frac{8}{39}t \right) \right) {}^{2} +\left( \ \sin \left( - \frac{8}{39}t \right) \right) {}^{2} + \left( - \frac{8}{39}t \right) {}^{2} \right) \\ \\ w = \ln \left( \cos {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) + \sin {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) - \frac{64}{1521}t {}^{2} \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Temos que a regra da cadeia é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\boxed{ \boxed{ \frac{dw}{dt} = \frac{dw}{du} . \frac{du}{dt} } }$

Sabendo disso, vamos encontrar a função auxiliar "u". Nomeando as funções, temos que:

$w = \ln(u) \: \: e \: \: u = \cos {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) + \sin {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) - \frac{64}{1521}t {}^{2}$

Substituindo cada função dentro da regra:

$\frac{dw}{dt} = \frac{d}{du} \ln(u). \frac{d}{dt} \left( \cos {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) + \sin {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) - \frac{64}{1521}t {}^{2} \right)$

Como sabemos a derivada do logarítmo natural é imediata, ou seja, já possui um resultado bem conhecido, sendo ele dado por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} }$

Aplicando essa derivada imediata:

$\frac{dw}{dt} = \frac{1}{u} . \left( \frac{d}{dt} \cos {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) + \frac{d}{dt} \sin {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) - \frac{d}{dt} \frac{64}{1521}t {}^{2} \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \frac{dw}{dt} = \frac{1}{u} . \left( - 2. \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) . \sin\left( - \frac{8}{39}t \right). \frac{d}{dt}\left( - \frac{8}{39}t \right) + 2 \sin\left( - \frac{8}{39}t \right) . \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) . \frac{d}{dt}\left( - \frac{8}{39}t \right) - \frac{64}{1521} .2t\right) \\ \\ \frac{dw}{dt} = \frac{1}{u} . \left( - 2. \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) . \sin\left( - \frac{8}{39}t \right). \left( - \frac{8}{39} \right) + 2 \sin\left( - \frac{8}{39}t \right) . \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) . \left( - \frac{8}{39} \right) - \frac{128t}{1521}\right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\frac{dw}{dt} = \frac{ \frac{16. \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) . \sin\left( - \frac{8}{39}t \right) }{39} - \frac{16 \sin\left( - \frac{8}{39}t \right) . \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) }{39} + \frac{128t}{1521} }{u} }$

Repondo a função que representa "u":

$\boxed{ \boxed{\boxed{\frac{dw}{dt} = \frac{ \frac{16. \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) . \sin\left( - \frac{8}{39}t \right) }{39} - \frac{16 \sin\left( - \frac{8}{39}t \right) . \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) }{39} + \frac{128t}{1521} }{ \cos {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) + \sin {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) - \frac{64}{1521}t {}^{2} } }}}$

A questão ainda quer saber o valor da derivada para um certo valor de t, então devemos pegar essa derivada encontrada e substituir o valor de t informado no enunciado:

$t = 5 - \frac{1}{16} \to \boxed{ t = \frac{79}{16}} \\ \\ \frac{dw}{dt} = \frac{ \frac{16. \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) . \sin\left( - \frac{8}{39}t \right) }{39} - \frac{16 \sin\left( - \frac{8}{39}t \right) . \cos\left( - \frac{8}{39}t \right) }{39} + \frac{128t}{1521} }{ \cos {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) + \sin {}^{2} \left( - \frac{8}{39}t \right) - \frac{64}{1521}t {}^{2} } \\ \\ \frac{dw}{dt} = \frac{ \frac{16. \cos \left( - \frac{8}{39}. \frac{79}{16} \right). \sin \left( - \frac{8}{39}. \frac{79}{16} \right) }{} - \frac{16 \sin\left( - \frac{8}{39}. \frac{79}{16} \right) \cos\left( - \frac{8}{39}. \frac{79}{16} \right) + \frac{128. \frac{79}{16} }{1521} }{39} }{ \cos {}^{2} \left( - \frac{8}{39}. \frac{79}{16} \right) + \sin {}^{2} \left( - \frac{8}{39}. \frac{79}{16} \right) - \frac{64. ( \frac{79}{16}) {}^{2} }{1521} } \\ \\ \boxed{\frac{dw}{dt} = \frac{ \frac{16. \cos \left( \frac{79}{78} \right) . \sin \left( \frac{79}{78} \right) }{39} + \frac{16. \sin\left( \frac{79}{78} \right) . \cos \left( \frac{79}{78} \right) - \frac{632}{1521} }{39} }{ \cos {}^{2} \left( \frac{79}{78} \right) + \sin {}^{2} \left( \frac{79}{78} \right) - \frac{6241}{6084}}}$

Acho que é isso, espero ter ajudado.