Question

Se vocês puderem me ajudar, agradeço muito!

Gráfico de uma função do 2° grau:

$f (x) = - 2x { }^{2} -6x + 5$

Quero a resolução detalhada, por favor :)​

Answer 1

Vamos primeiro calcular as raízes dessa equação, para achar os pontos de interseção com o eixo x:

-2x²-6x+5 = 0

Δ = b² - 4ac = 36 - 4 · (- 2) · 5 = 36 + 40 = 76

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2a}$

x = (6 ± 2√19) / (- 4)

x = (-3 + √19) / 2 = 0,68

ou

x = (-3 - √19) / 2 = -3,68

Agora calculando o vértice da parábola, que é o ponto máximo da função, pois o a < 0, consequentemente a parábola tem concavidade para baixo.

Xv = -b / 2a = -(- 6) / 2 · (- 2) = 6 / -4 = - 1,5

Yv = -Δ / 4a = - 76 / 4 · (- 2) = 76 / 8 = 9,5

Agora temos todos os pontos importantes para a construção do gráfico, agora só basta ligar os pontos formando uma parábola.

Answer 2

Olá.

A forma geral da função de 2º grau é

f(x) = ax² +bx +c.

Em f(x) = -2x² -6x +5 temos:

a = -2

b = -6

c = 5

O gráfico de uma função de 2º grau (ou função quadrática) é sempre uma parábola.

Como a = -2 é um valor negativo, a concavidade da parábola (boca) será voltada para baixo.

Para descobrirmos o desenho da parábola (o gráfico da funçao) tem várias maneiras.

Uma delas é aplicando valores de x na função. A função transformará os valores x de entrada em valores y na saída. Juntando x e y teremos pontos (x, y) que pertencem à função.

Escolhemos quaisquer valores para x e vemos o resultado.

Isso fica mais organizado se montarmos uma tabela:

À esquerda, os valores de x. No centro os valores de x aplicados na função. À direita, o resultado y:

$\left[\begin{array}{ccc}x&-2(x)^{2}-6(x)+5&y\\0&-2(0)^{2}-6(0)+5&0-0+5=5\\1&-2(1)^{2}-6(1)+5&-2-6+5=-3\\2&-2(2)^{2}-6(2)+5&-8-12+5=-15\\-1&-2(-1)^{2}-6(-1)+5&-2+6+5=9\\-2&-2(-2)^{2}-6(-2)+5&-8+12+5=9\\-4&-2(-4)^{2}-6(-4)+5&-32+24+5=-3\\-5&-2(-5)^{2}-6(-5)+5&-50+30+5=-15\end{array}\right]$

Conseguimos os pontos:

(0, 5)

(1, -3)

(2, -15)

(-1, 9)

(-2, 9)

(-4, -3)

(-5, -15)

Agora é só desenhar os eixos x e y, colocar os pontos e ligá-los. Quanto mais pontos calcularmos, mais perfeita será a parábola.

Segue gráfico na imagem.

Ampliando conhecimentos...

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Uma outra forma de traçar o gráfico é fazendo um esboço, o que não é um desenho perfeito, com dada ponto no seu lugar, mas que dá uma ideia do gráfico da função.

Para isso procuramos pontos principais, como:

* raízes: use a fórmula de Báskara:   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2a}$

ou fatoração

* vértice: use a fórmula do vértice da parábola

$V=(\frac{-b}{2a} ,\frac{-\Delta}{4a} )$

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Outra forma é estudando os coeficientes a, b e c da parábola e suas funções.

a: determina a concavidade da parábola.

Se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

b: determina a inclinação da parábola após passar o eixo y

Se b<0, a partir do ponto de corte do eixo Y a curvatura da parábola irá descer;

Se b >0, a partir do ponto de corte do eixo Y a curvatura da parábola irá subir;

Se b = 0, após o ponto de corte não haverá inclinações.

c: mostra o local de encontro da parábola com o eixo y

Se c>0, a parábola irá cortar o eixo Y acima da origem;

Se c<0, a parábola irá cortar o eixo Y abaixo da origem;  

Se c=0, a parábola irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0).