Question

Se você simplificar a expressão √(x+y)² - 4xy / 2x - 2y, com x≠y, você vai obter:

a)1 / x - y c) 1 / 2

b) x - y d) 1 / 4

e) _ 1 / 2

Me ajudem pfv :D​​

Answer 1

Temos a expressão $\mathsf{\dfrac{\sqrt{(x+y)^2-4xy}}{2x-2y}},$ com $\mathsf{x\neq y.}$

Vamos simplificá-la:

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{(x+y)^2-4xy}}{2x-2y}}=\\=\mathsf{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2+2xy-4xy}}{2(x-y)}}=\\=\mathsf{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2-2xy}}{2(x-y)}}=\\=\mathsf{\dfrac{\sqrt{(x-y)^2}}{2(x-y)}}=\\=\mathsf{\dfrac{|x-y|}{2(x-y)}}$

Temos dois casos a analisar:

1° caso: $\mathsf{x>y}$

Se $\mathsf{x>y,}$ então $\mathsf{x-y>0}$ e, por conseguinte, $\mathsf{|x-y|=x-y}$

Desse modo,

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{(x-y)^2}}{2(x-y)}}=\\=\mathsf{\dfrac{|x-y|}{2(x-y)}}=\\=\mathsf{\dfrac{x-y}{2(x-y)}}$

Como $\mathsf{x\neq y,}$ podemos "cancelar" os $\mathsf{x-y}$ no numerador e no denominador.

$\mathsf{\dfrac{\cancel{x-y}}{2\cancel{(x-y)}}}=\mathsf{\dfrac{1}{2}}$

Então, se $\mathsf{x>y,}$ temos:

$\fbox{\mathsf{\dfrac{\sqrt{(x+y)^2-4xy}}{2x-2y}=\dfrac{1}{2}}}$

2° caso: $\mathsf{x < y}$

Se $\mathsf{x < y},$ então $\mathsf{x-y<0}$ e, por conseguinte, $\mathsf{|x-y|=-(x-y)}$

Então:

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{(x-y)^2}}{2(x-y)}}=\\=\mathsf{\dfrac{|x-y|}{2(x-y)}}=\\=\mathsf{\dfrac{-(x-y)}{2(x-y)}}=\\=\mathsf{-\dfrac{1}{2}}$

Logo, se $\mathsf{x < y},$ temos:

$\fbox{\mathsf{\dfrac{\sqrt{(x+y)^2-4xy}}{2x-2y}=-\dfrac{1}{2}}}$