Question

Se vier com gracinha irei denúnciar

Sabendo que sen 2x = $\frac{\sqrt{5} }{5}$, calcule o valor de y = $cox^{4}x - senx^{4}$.

Gabarito: y = ±$\frac{2\sqrt{5} }{5}$
5 estrelas e melhor resposta e obrigado.

Answer 1

Resposta:

$y=\pm\frac{2\sqrt{5} }{5}$

Explicação passo-a-passo:

$y = cos^{4}x - sen^{4}x=(cos^{2}x+sen^{2}x)(cos^{2}x-sen^{2}x)=cos^{2}x-sen^{2}x=cos2x\\\\y^{2} =cos^{2}2 x=1-sen^22x=1-(\frac{\sqrt{5} }{5})^2=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} \\ \\y=\pm\sqrt{\frac{4}{5} } =\pm\frac{2}{\sqrt{5}} =\pm\frac{2\sqrt{5} }{5}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\text{y}=\text{cos}^{4}~x-\text{sen}^{4}~x$

Utilizando $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, temos:

$\text{y}=(\text{cos}^2~x-\text{sen}^2~x)(\text{cos}^2~x+\text{sen}^2~x)~~(\text{i})$

Pela relação fundamental da trigonometria, $\text{cos}^2~x+\text{sen}^2~x=1$, substituindo em $(\text{i})$

$\text{y}=(\text{cos}^2~x-\text{sen}^2~x)\cdot1$

$\text{y}=\text{cos}^2~x-\text{sen}^2~x~~(\text{ii})$

Por outro lado,

$\text{cos}~(\text{a}+\text{b})=\text{cos}~\text{a}\cdot\text{cos}~\text{b}-\text{sen}~\text{a}\cdot\text{sen}~\text{b}$

Fazendo $a=b=x$, temos:

$\text{cos}~(2x)=\text{cos}^2~x-\text{sen}^2~x$

Substituindo em $(\text{ii})$:

$\text{y}=\text{cos}~(2x)$

Novamente pela relação fundamental da trigonometria,

$\text{sen}^2~(2x)+\text{cos}^2~(2x)=1$

Pelo enunciado, $\text{sen}~(2x)=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ e $\text{cos}~(2x)=\text{y}$, substituindo:

$\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^2+y^2=1$

$\dfrac{5}{25}+y^2=1$

$\text{y}^2=1-\dfrac{5}{25}$

$\text{y}^2=\dfrac{20}{25}$

$\text{y}=\pm\sqrt{\dfrac{20}{25}}$

$\boxed{\text{y}=\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$