Question

Se uma primitiva F, de f(x)=2√x+6cosx, é tal que F(π)=π^3/2, então F(0) é

Answer 1

Após calcularmos a primitiva F(x) obtivemos F(0) = - 3√π³.

Nesse tipo de questão o primeiro passo é calcularmos a integral indefinida de f(x):

$F(x) = \int\limits {(2\sqrt{x} + 6cosx)} \, dx  = \frac{2}{(1/2)}*x^{(1/2) + 1} + 6senx + C = 4\sqrt{x^3} + 6senx + C$

, onde C é a constante de integração. É ela que devemos encontrar agora. Para isso vamos tomar a informação dada no enunciado:

F(π) = √π³

Vamos ter:

√π³ = 4√π³ + 6senπ + C

√π³ - 4√π³ = 0 + C

C = -3√π³

Portanto, nossa primitiva F(x) será:

F(x) = 4√x³ + 6senx - 3√π³

Só agora podemos calcular F(0) diretamente:

F(0) = 4√0³ + 6sen0 - 3√π³ = 0 + 0 - 3√π³ = - 3√π³

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