Question

Se uma pirâmide triangular regular a altura tem 15cm e o perímetro da base 54cm, então a área total e o volume da pirâmide, valem

Answer 1

Observe a imagem abaixo.

Como a pirâmide triangular é regular, então a base é um triângulo equilátero.

Se o perímetro da base é igual a 54 cm, então cada aresta da base mede 18 cm.

Para calcular a área total precisamos calcular a área da base e a área lateral.

A área da base é igual a: $Ab = \frac{18^2\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$ cm².

Para calcular a área lateral, utilizaremos o triângulo ΔABC da figura abaixo.

BC é justamente a apótema do triângulo equilátero. Logo, BC = 3√3 cm.

Como AC = 15 cm, então pelo Teorema de Pitágoras:

AB² = AC² + BC²

AB² = 15² + (3√3)²

AB² = 225 + 27

AB² = 252

AB = 6√7 cm

Assim, a área lateral é igual a: $Al = 3.\frac{6\sqrt{7}.18}{2} = 162\sqrt{7}$ cm².

Portanto, a área total da pirâmide é igual a: At = 81√3 + 162√7 cm².

Já o volume da pirâmide é igual a: $V = \frac{1}{3}.81\sqrt{3}.15 = 405\sqrt{3}$ cm³.