Question

Se uma matriz A, 4X4, tem determinante igual a 2, qual será o determinante da matriz $2A^{t}$.

Answer 1

Temos que saber as propriedades das matrizes, ou seja, uma delas diz que o determinante de A é igual a sua transposta, então teremos.

$2A^t=K^n*detA$

A outra propriedade é essa, k na n, que diz o seguinte, o número 2 deve ser elevado a ordem da matriz, a ordem é 4, então teremos.

$2A^t=2^4*2 \\ 2A^t=16*2 \\ 2A^t=32$

Answer 2

Resposta:

$Det A^{T} = 2^{5}$

Explicação passo-a-passo:

Para verificarmos a regra manualmente temos que

Segundo a regra de Sarrus temos que para encontrarmos a determinante de uma matriz A_{xn} tal que x=n (ou seja, uma matriz quadrada) devemos adicionar n-1 colunas à direita da matriz sendo elas cópias das n-1 primeiras colunas de tal forma que nossa determinante será a soma das n diagonais multiplicativas, começando no termo a11, subtraído da soma das outras n diagonais multiplicativas, começando no termo a1n.

Começaremos escrevendo nossas n-1 colunas a mais à direita.

$A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\\a_{41}&a_{42}&a_{43}\\\end{array}\right]$

Em seguida, vamos registrar as diagonais multiplicativas que iremos somar. Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser somada.

$A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&.&.&.\\\\.&a_{22}&.&.\\\\.&.&a_{33}&.\\\\.&.&.&a_{44}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&.\\\end{array}\right] \\\\Det(A) = a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} +$

Esta será nossa segunda diagonal multiplicada a ser somada.

$A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}.&a_{12}&.&.\\\\.&.&a_{23}&.\\\\.&.&.&a_{34}\\\\.&.&.&.\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&.\\\\a_{41}&.&.\\\end{array}\right] \\\\Det(A) = a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} + a_{12}*a_{23}*a_{34}*a_{41} +$

E assim para a terceira e quarta diagonal quando então passamos a subtrair as diagonais do outro sentido

$A_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}.&.&.&.\\\\.&.&.&.\\\\.&.&.&.\\\\.&.&.&a_{44}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}.&.&a_{13}\\\\.&a_{22}&.\\\\a_{31}&.&.\\\\.&.&.\\\end{array}\right] \\\\Det(A) = a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} + a_{12}*a_{23}*a_{34}*a_{41} + a_{11}*a_{24}*a_{31}*a_{11} + a_{14}*a_{21}*a_{32}*a_{43} - a_{14}*a_{23}*a_{32}*a_{41} -$

E assim até obtermos nosso resultado procurado

$Det(A) = a_{11}*a_{22}*a_{33}*a_{44} + a_{12}*a_{23}*a_{34}*a_{41} + a_{11}*a_{24}*a_{31}*a_{11} + a_{14}*a_{21}*a_{32}*a_{43} - a_{14}*a_{23}*a_{32}*a_{41} - a_{13}*a_{22}*a_{31}*a_{44} - a_{12}*a_{21}*a_{34}*a_{43} - a_{11}*a_{24}*a_{33}*a_{42}$

Vamos agora analisar nossa matriz transposta

$A^{t}=\left[\begin{array}{cccc}2*a^{-1}_{11}&2*a^{-1}_{21}&2*a^{-1}_{31}&2*a^{-1}_{41}\\\\2*a^{-1}_{12}&2*a^{-1}_{22}&2*a^{-1}_{32}&2*a^{-1}_{42}\\\\2*a^{-1}_{13}&2*a^{-1}_{23}&2*a^{-1}_{33}&2*a^{-1}_{43}\\\\2*a^{-1}_{14}&2*a^{-1}_{24}&2*a^{-1}_{34}&2*a^{-1}_{44}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2*a^{-1}_{11}&2*a^{-1}_{21}&2*a^{-1}_{31}\\\\2*a^{-1}_{12}&2*a^{-1}_{22}&2*a^{-1}_{32}\\\\2*a^{-1}_{13}&2*a^{-1}_{23}&2*a^{-1}_{33}\\\\2*a^{-1}_{14}&2*a^{-1}_{24}&2*a^{-1}_{34}\\\end{array}\right]$

$A^{t}=\left[\begin{array}{cccc}2*a^{-1}_{11}&.&.&.\\\\.&2*a^{-1}_{22}&.&.\\\\.&.&2*a^{-1}_{33}&.\\\\.&.&.&2*a^{-1}_{44}\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&.\\\end{array}\right] \\\\Det A^{t} = 2*a^{-1}_{11}*2*a^{-1}_{22}*2*a^{-1}_{33}*2*a^{-1}_{44} +$

...

$A^{t}_{4,4}=\left[\begin{array}{cccc}.&.&2*a^{-1}_{31}&.\\\\.&.&.&2*a^{-1}_{42}\\\\.&.&.&.\\\\.&.&.&.\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&.\\\\2*a^{-1}_{13}&.&.\\\\.&2*a^{-1}_{24}&.\\\end{array}\right] \\\\Det A^{t} = 2*a^{-1}_{11}*2*a^{-1}_{22}*2*a^{-1}_{33}*2*a^{-1}_{44} + 2*a^{-1}_{21}*2*a^{-1}_{32}*2*a^{-1}_{43}*2*a^{-1}_{14} + 2*a^{-1}_{11}*2*a^{-1}_{42}*2*a^{-1}_{13}*2*a^{-1}_{11} +$

...

Desta forma obtemos a equação e o resultado procurado:

$Det A^{t} = 2*a^{-1}_{11}*2*a^{-1}_{22}*2*a^{-1}_{33}*2*a^{-1}_{44} + 2*a^{-1}_{21}*2*a^{-1}_{32}*2*a^{-1}_{43}*2*a^{-1}_{14} + 2*a^{-1}_{11}*2*a^{-1}_{42}*2*a^{-1}_{13}*2*a^{-1}_{11} + 2*a^{-1}_{41}*2*a^{-1}_{12}*2*a^{-1}_{23}*2*a^{-1}_{34}- 2*a^{-1}_{41}*2*a^{-1}_{32}*2*a^{-1}_{23}*2*a^{-1}_{14} - 2*a^{-1}_{31}*2*a^{-1}_{22}*2*a^{-1}_{13}*2*a^{-1}_{44} - 2*a^{-1}_{21}*2*a^{-1}_{12}*2*a^{-1}_{43}*2*a^{-1}_{34} - 2*a^{-1}_{11}*2*a^{-1}_{42}*2*a^{-1}_{33}*2*a^{-1}_{24}$

Se prestarmos atenção à potência de  dois em evidência veremos que

$Det A^{t} = 2^{4}(a^{-1}_{11}*a^{-1}_{22}*a^{-1}_{33}*a^{-1}_{44} + a^{-1}_{21}*a^{-1}_{32}*a^{-1}_{43}*a^{-1}_{14} + a^{-1}_{11}*a^{-1}_{42}*a^{-1}_{13}*a^{-1}_{11} + a^{-1}_{41}*a^{-1}_{12}*a^{-1}_{23}*a^{-1}_{34} - a^{-1}_{41}*a^{-1}_{32}*a^{-1}_{23}*a^{-1}_{14} - a^{-1}_{31}*a^{-1}_{22}*a^{-1}_{13}*a^{-1}_{44} - a^{-1}_{21}*a^{-1}_{12}*a^{-1}_{43}*a^{-1}_{34} - a^{-1}_{11}*a^{-1}_{42}*a^{-1}_{33}*a^{-1}_{24})$

$Det A^{T} = 2^{4} * Det_{A}$

Sendo Det A = 2, então temos que $Det A^{T} = 2^{5}$.           ∴

♥? ★★★★★? Melhor resposta? Você decide.  

Bons estudos. ≧◉ᴥ◉≦

"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."