Question

se uma bola de neve derrete de forma que sua área de superfície decresce a uma taxa de 1cm²/min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro está a 10cm​

Answer 1

Utilizando derivadas ímplicitas encontramos que o diametro descresce com a taxa de -1/40π por minuto.

Explicação passo-a-passo:

Então sabemos que a derivada da área da superficie em função do tempo é -1 cm²/min, e sabemos também que a área da superficie é dada por:

$A=4\pi R^2$

Derivando a função da área em função do tempo por meio de derivada ímplicita:

$\frac{dA}{dt}=2.4.\pi .R.\frac{dR}{dt}$

$\frac{dA}{dt}=8\pi R.\frac{dR}{dt}$

Sabemos que a derivada da área pelo tempo é -1, e que o raio neste momento é 5 cm (pois o diametro é 10 cm), então substituindo os valores:

$\frac{dA}{dt}=8\pi R.\frac{dR}{dt}$

$-1=8\pi 5.\frac{dR}{dt}$

$\frac{dR}{dt}=-\frac{1}{40\pi}$

Então encontramos que o diametro descresce com a taxa de -1/40π cm por minuto.

Answer 2

Resposta:

1 ÷20π

Explicação passo-a-passo:

A área da superfície é a derivada do volume da esfera, então:

A(t) = 4π(r(t))²;

Dessa forma, sabendo a taxa de variação da área juntamente ao valor do raio no momento é possível resolver : (como ele pergunta a taxa  segundo a qual o diâmetro decresce, logo a resposta é um valor positivo)

A`(t) = 4π · 2r(t) · r`(t) --> pela regra da cadeia.

Substituindo :

1 = 40π · r`(t)

r`(t) = $\frac{1}{40\pi \\}$

e como um diâmetro é igual a dois raios:

2r`(t) = d`(t)

d`(t) =  $\frac{1}{20\pi }$...