Question

Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 1 cm2 /min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm.

Answer 1

Através dos cálculos realizados, temos que a taxa segundo a qual o diâmetro decresce é de 1/20π cm/min.

Derivadas

A questão nos diz que uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a sua taxa de 1 cm²/min, ou seja, o diferencial da área pela diferencial do tempo é igual a 1 cm²/min. Logo: dA/dt = 1 cm²/min. Lembrando que a área superficial de esfera é igual a 4πr². Com isso, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{dA}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt} \end{gathered}$

E foi nos dito no enunciado que o diâmetro é de 10cm, logo, como sabendo que o raio é a metade do diâmentro, temos que r = 5cm. Lembrando também que a derivada de r² é 2r. Logo:

$\large\displaystyle\begin{gathered}4\pi 2r\frac{dr}{dt}=1 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}8\pi 5\frac{dr}{dt}=1 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}40\pi \frac{dr}{dt} =1\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \boxed{\frac{dr}{dt} =\dfrac{1}{40\pi}}\end{gathered} }$

Mas a questão pediu a taxa segundo a qual o diâmetro decresce, ou seja, dd/dt . E pela relação d = 2r , temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}d=2r \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{dd}{dt}=2\frac{dr}{dt} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{dd}{dt}=2\cdot \frac{1}{40\pi} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\frac{dd}{dt}= \frac{1}{20\pi} cm/min }}\ \ \checkmark \end{gathered} }$

Para mais exercícios sobre derivadas, acesse:

brainly.com.br/tarefa/134286

Espero ter ajudado! :)

#SPJ4