Question

Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(-1; 3) e B(2; -1 ), a abscissa de P vale:

Answer 1

Resposta:

P ( - 5/6 ; 0)            Abcissa de P é - 5/6

( em gráfico em anexo , mostrando que o ponto P com as coordenadas indicadas está à mesma distância de ponto A e do ponto B )

$d_{PA}= d_{PB}=3$

Explicação passo a passo:

Observação 1 ←  Qual a coordenada em y de um ponto no eixo do x ?

Todos os pontos situados no eixo das abcissas têm ordenada

( coordenada em y ) nula.

Exemplo:

( 3 ; 0 ) ; ( - 8 ; 0 )

Neste caso o ponto P tem as seguintes coordenadas

P ( x ; 0 )

Como ponto P é equidistante ( está a mesma distância ) dos pontos  A e B,

então a distância de PA é igual à distância PB

Vamos montar uma equação que traduza esta igualdade.

Existe uma formula para calcular distâncias de dois pontos A e B de se

conhecem as coordenadas.

$A(x_{1};y_{1})$           e        $B(x_{2};y_{2} )$

$d_{AB} =\sqrt{(x_{2} -x_{1})^2+(y_{2} -y_{1})^2 }$

Primeiro escrever a fórmula para distância PA

$d_{PA} =\sqrt{(x-(-1))^2+(0-3)^2 }=\sqrt{(x+1)^2+9}$

Segundo escrever a fórmula para distância PB

$d_{PB} =\sqrt{(x-2)^2+(0-(-1))^2 }=\sqrt{(x-2)^2+(+1)^2 }$

Como as duas distâncias são iguais então

$\sqrt{(x+1)^2+9}=\sqrt{(x-2)^2+1^2}$

Equação irracional, eleva-se ambos os membros ao quadrado

$[\sqrt{(x+1)^2+9}]^2=[\sqrt{(x-2)^2+1^2}]^2$

$(x+1)^2+9=(x-2)^2+1^2}$

$x^2+2x+1+9=x^2-2*x*2+2^2+1$

$x^2+2x+1+9=x^2-4x+4+1$

Embora seja uma equação do 2º grau, não vou colocar todos os termos

no primeiro membro, porque o termo em x² vai desaparecer.

$x^2-x^{2} +2x+4x=5-1-9$

$6x=-5$

$x=-\dfrac{5}{6}$

O ponto P tem  as coordenadas :

P ( - 5/6 ; 0)

Abcissa de P é - 5/6

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Observação 2 → Equações Irracionais

São aquelas em que a incógnita está dentro de um radical.

Procura-se isolar o radical num dos membros e em seguida eleva-se ambos

os membros ao quadrado.

No fim, tem que se verificar se as raízes obtidas satisfazem a equação

original.

Isto porque ao elevar ao quadrado pode se dar origem a raízes que não

satisfaçam a equação original.

Observação 3 → Potenciação e Radiciação

Quando se extraia raiz quadrada de algo, e ao mesmo tempo se eleva ao

quadrado, é o mesmo que nada se ter feito.

A radiciação e a potenciação são operações inversas, que se cancelam

mutuamente quando utilizadas ao mesmo tempo.

Observação 4 → Quadrado de uma soma

É um produto notável que tem o seguinte desenvolvimento

O quadrado do primeiro termo

mais

o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo

mais

o quadrado do segundo termo

Exemplo

( x + 1)² = x² + 2 * x * 1 + 1² = x² + 2x + 1

Observação 4 → Quadrado de uma diferença

É um produto notável que tem o seguinte desenvolvimento

O quadrado do primeiro termo

menos

o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo

mais

o quadrado do segundo termo

( x - 2)² = x² - 2 * x * 2 + 2² = x² - 4x + 4

Bons estudos.

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( * ) multiplicação     ( / ) divisão