Question

Se um objeto se move ao longo de uma reta com uma função posição s(t), então sua velocidade é v(t)=s'(t) , logo v(t)dt = s(t_2)-s(t_1) é a mudança de posição, ou deslocamento, da partícula durante o período de tempo de t_1 a t_2. Dessa maneira, se uma partícula se move em linha reta com função velocidade v(t) = sen(t) cos^2(t), a função posição s = f(t) se, f(0)=0, é igual a:

Answer 1

Resposta:

$s(t)=\frac{1-\cos^3t}{3}$

Explicação passo-a-passo:

O enunciado da questão, em outras palavras, diz que podemos definir a variação da função posição $s(t)$ como sendo a integral da função velocidade no intervalor $t_1$ a $t_2$, ou seja $s(t)=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\;dt$. Considerando $t_1=0$, a posição de um corpo com $t$ segundos decorridos é $s(t)=\int_0^tv(t)\;dt$. Desenvolvendo:

$s(t)=\int_0^t\sin t\cos^2t\;dt$

Considerando $\cos t=u$, temos que:

$\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}(\cos t)$

$\frac{du}{dt}=-\sin t$

$-du=\sin t\;dt$

Podemos então realizar uma mudança de variável para calcular a integral. Devido a isso, devemos recalcular os limites de integração. Para $t=0$, temos que $u=\cos 0=1$ e para $t=t$, ficamos com $u=\cos t$, logo:

$s(t)=\int_0^tu^2\sin t\;dt$

$s(t)=-\int_1^{\cos t}u^2\;du$

$s(t)=-\left[\frac{u^3}{3} \right]_1^{\cos t}$

$s(t)=-\left(\frac{\cos^3t}{3}-\frac{1}{3} \right)$

$s(t)=\frac{1-\cos^3t}{3}$